常系數(shù)非齊次線性微分方程(已修改)
2025-05-11 06:45 本頁面
【正文】 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 Nonhomogeneous Linear Equations with Constant Coefficients 常系數(shù)非齊次線性微分方程 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程： ()yy pq y f x?? ?? ? ?對應(yīng)齊次線性微分方程： 0y y ypq?? ?? ? ?(1)(2)四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 誰不會？ 還不會 已會了 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解步驟 ()yy pq y f x?? ?? ? ?(1) 求出對應(yīng)齊次線性方程 (1) 的通解： 0y y ypq?? ?? ? ?(1)(2)1 1 2 2Y C y C y??(2) 求出原方程 (1) 的一個(gè)特解： y* (3) 寫出原方程 的通解： y = Y + y* 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 如何求出原方程 的一個(gè)特解？ 原方程 的一個(gè)特解應(yīng)當(dāng)具有什么形式？ 這與方程 ()yy pq y f x?? ?? ? ?與自由項(xiàng) f(x) 的形式有關(guān)。 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 一、 設(shè) ( ) ( ) xmf x P x e ??其中 Pm(x) 是 m 次多項(xiàng)式 () xmy y yp eq Px ??? ?? ? ?I 型自由項(xiàng) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 () xmy y yp eq Px ??? ?? ? ?21x?2xe2( 2 1 ) xxe ??因?yàn)? f(x) 中含有指數(shù)函數(shù) 因此特解 y* 中也必須有指數(shù)函數(shù) 設(shè)特解 * ( ) xy Q x e ??其中 Q(x) 是一個(gè)待定的多項(xiàng)式 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 * ( ) xy Q x e ??求導(dǎo)： *y ? () xQ x e ??? () xQ x e ???[ ( ) ( ) ] xQ x Q x e ?????再求導(dǎo)： [ ( ) ( ) ] xQ x Q x e ???? ???[ ( ) ( ) ] xQ x Q x e ??????*y ??2[ ( ) 2 ( ) ( ) ] xQ x Q x Q x e ????? ?? ? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 () xmy y yp eq Px ??? ?? ? ?* ( ) xy Q x e ?? *y ? [ ( ) ( ) ] xQ x Q x e ?????*y ?? 2[ ( ) 2 ( ) ( ) ] xQ x Q x Q x e ????? ?? ? ?代入原方程，并約去 eαx ，得 2( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )mQ x p Q x p q Q x P x? ? ??? ?? ? ? ? ? ?(3)四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 (1) 若 λ 不是特征根：
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