【微積分】一階線性微分方程(已修改)
2025-08-03 11:17 本頁面
【正文】 第四節(jié) 一階線性微分方程 一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式 : )()(dd xQyxPxy ??若 Q(x) ? 0, 0)(dd ?? yxPxy若 Q(x) ? 0, 稱為 非齊次方程 . 1. 解齊次方程 分離變量 兩邊積分得 CxxPy lnd)(ln ??? ?故通解為 xxPCy d)(e ???稱為 齊次方程 。 ( ) 0 ,y P x y? ??( ) ( )( ) 0 ,P x d x P x d xy e y P x e??? ??()( ) 0 ,P x d xye ? ? ?故通解為 ().P x d xy C e ? ??一階線性齊次方程 另一解法 : (積分因子法 ) () ,P x d xy e C? ?( ) ( )( ) 0 ,P x d x P x d xy e y e??????兩邊乘以積分因 子 () ,P x d xe?對應(yīng)齊次方程通解 非齊次方程特解 ?? xxPC d)(e2. 解非齊次方程 )()(dd xQyxPxy ??用 常數(shù)變易法 : ,e)()( )(??? xxPxuxy d則 ??? xxPu d)(e )(xP? ?? xxPu d)(e )(xQ?故原方程的通解 xxQ xxPxxP de)(e d)(d)( ?? ????????? ?? ?? ?? CxxQy xxPxxP de)(e d)(d)(?y即 即 作變換 ??? xPuxP d)()(CxxQu xxP ?? ?? de)( d)(兩端積分得 ( ) ( ) .y P x y Q x? ??( ) ( ) ( )( ) ( ) ,P x d x P x d x P x d xy e y P x e Q x e? ? ?? ??( ) ( )( ) ( ) ,P x d x P x d xy e Q x e??? ?( ) ( )( ) ,P x dx P x dxy e Q x e dx C?????( ) ( ) ( )( ) ( ) ,P x d x P x d x P x d xy e y e Q x e? ? ??? ??通解為 : ])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ??另一解法 :(積分因子法 ) .s i n1 的通解求方程 x xyxy ???,1)( xxP ? ,s i n)( x xxQ ?????????? ??????Cdxexxeydxxdxx11 s i n?????? ? ??? ? Cdxexxe xx lnln s i n? ?? ?? Cx d xx s i n1 ? ?.c o s1 Cxx ???解 1: (公式法 ) 例 1 通解 ,s i
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