常微分論文關(guān)于一階微分方程的解的存在的探討(已修改)
2025-06-19 12:01 本頁(yè)面
【正文】 常微分方程論文 學(xué)院：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 班級(jí)： 12級(jí)統(tǒng)計(jì)班 指導(dǎo)教師：宋旭霞 小組成員：張維萍 付佳奇 張韋麗 張萍 日期： 關(guān)于 一階微分方程的解的存在 的探討 摘要： 分析了 解的存在唯一性定理，它明確地肯定了方程的解在一定條件下的存在 性和唯一性， 并且對(duì)此加以證明。 另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意義 。 如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個(gè)解。而解的存在唯一性定理保證了所求解的存在性和唯一性。 關(guān)鍵詞： 微分方程 連續(xù) 可微 近似計(jì)算 誤差估計(jì) 一、 存在性與唯一性定理 ： （ 1）顯式一階微分方程 ),( yxfdxdy ? （ ） 這里 ),( yxf 是在 矩形域： 00:| | , | |R x x a y y b? ? ? ? （ ） 上連續(xù) 。 （一）、 定理 1：如果函數(shù) ),( yxf 滿足以下條件： 1）在 R 上連續(xù)： 2）在 R 上關(guān)于變量 y 滿足李普希茲 （ Lipschitz） 條件，即存在常數(shù) 0L? ，使對(duì)于 R 上任何一對(duì)點(diǎn) 1( , )xy ， 2( , )xy 均有不等式1 2 1 2( , ) ( , )f x y f x y L y y? ? ?成立， 則 方程（ ）存在唯一的解 ()yx?? ， 在區(qū)間 0||x x h??上連續(xù)，而且滿足初始條件 00()xy? ? （ ） 其中,m in ( , ) , m a x ( , )x y Rbh a M f x yM???,L 稱為 Lipschitz 常數(shù) . 解題 思路： 1） 求解 初值問(wèn)題 ()的解等價(jià)于積分方程00 ( , )xxy y f x y dx??? 的連續(xù)解。 2） 構(gòu)造近似解函數(shù)列 { ( )}n x? 任取一個(gè)連續(xù)函數(shù) 0()x? ，使得 00| ( ) |x y b? ??，替 代上述積分方程右端的 y ，得到 01 0 0( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x???? ? 如果 10( ) ( )xx??? ，那么 0()x? 是積分方程的解，否則，又用 1()x? 替代積分方程右端的 y ，得到 02 0 1( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x???? ? 如果 21( ) ( )xx??? ，那么 1()x? 是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到 001( ) ( , ( ) )xnnxx y f x x d x?? ??? ? （ ） 于是得到函數(shù)序列 { ( )}n x? . 3） 函數(shù)序列 { ( )}n x? 在區(qū)間 00[ , ]x h x h??上一致收斂于 ()x? ，即 lim ( ) ( )nn xx???? ?存在，對(duì) ()取極限 ,得到 00010l im ( ) l im ( , ( ) ) = ( , ( ) ) xnnxnnxxx y f x x d xy f x x d x????? ? ? ??????， 即00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x???? ? . 4) ()x? 是積分方程00 ( , )xxy y f x y dx??? 在 00[ , ]x h x h??上的連續(xù)解 . （ 二 ） 、五個(gè)命題 這種一步一步求出方程解的方法 —— 逐步逼近法 .在定理的假設(shè)條件下 ,分五個(gè)命題 來(lái)證明定理 . 為了討論方便 ,只考慮區(qū)間 00x x x h? ? ? ,對(duì)于區(qū)間 00x h x x? ? ? 的討論完全類似 . 命題 1 設(shè) ()yx?? 是方程 ()定義于區(qū)間 00x x x h? ? ? 上 ,滿足初始條件 00()xy? ? （ ）的解 ,則 ()yx?? 是積分方程00 ( , )xxy y f x y dx??? 00x x x h? ? ? ()的定義于 00x x x h? ? ? 上的連續(xù)解 .反之亦然 . 證明 因?yàn)?()yx?? 是方程 ()滿足 00()xy? ? 的解 ,于是有 () ( , ( ))dx f x xdx? ?? 兩邊取 0x 到 x 的積分得到 00( ) ( ) ( , ( ) )xxx x f x x d x? ? ??? ? 00x x x h? ? ? 即有00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x???? ? 00x x x h? ? ? 所以 ()yx?? 是積分方程00 ( , )xxy y f x y dx??? 定義在區(qū)間 00x x x h? ? ? 上的連續(xù)解 . 反之 ,如果 ()yx?? 是積分方程 ()上的連續(xù)解 ,則 00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x???? ? 00x x x h? ? ? （ ） 由于 ),( yxf 在 R 上連續(xù) ,從而 ( , ( ))f x x? 連續(xù) ,兩邊對(duì) x 求導(dǎo) ,可得 () ( , ( ))dx f x xdx? ?? 而且 00()xy? ? , 故 ()yx?? 是方程 ()定義在區(qū)間 00x x x h? ? ? 上 ,且滿足初始條件 00()xy? ? 的解 . 構(gòu)造 Picard的逐次逼近函數(shù)序列 { ( )}n x? . 0000 1 0 0()( ) ( , ( ) ) xnnxxyx y f d x x x h?? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? ?( 1,2, )n? （ ） 命題 2 對(duì)于所有的 n ， （ ）中的函數(shù) ()nx? 在 00x x x h? ? ? 上有定義，連續(xù)且滿足不等式 0| ( ) |n x y b? ??
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