【正文】 （ ）的解 ,則 ()yx?? 是積分方程00 ( , )xxy y f x y dx??? 00x x x h? ? ? ()的定義于 00x x x h? ? ? 上的連續(xù)解 .反之亦然 . 證明 因?yàn)?()yx?? 是方程 ()滿足 00()xy? ? 的解 ,于是有 () ( , ( ))dx f x xdx? ?? 兩邊取 0x 到 x 的積分得到 00( ) ( ) ( , ( ) )xxx x f x x d x? ? ??? ? 00x x x h? ? ? 即有00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x???? ? 00x x x h? ? ? 所以 ()yx?? 是積分方程00 ( , )xxy y f x y dx??? 定義在區(qū)間 00x x x h? ? ? 上的連續(xù)解 . 反之 ,如果 ()yx?? 是積分方程 ()上的連續(xù)解 ,則 00( ) ( , ( ) )xxx y f x x d x???? ? 00x x x h? ? ? （ ） 由于 ),( yxf 在 R 上連續(xù) ,從而 ( , ( ))f x x? 連續(xù) ,兩邊對(duì) x 求導(dǎo) ,可得 () ( , ( ))dx f x xdx? ?? 而且 00()xy? ? , 故 ()yx?? 是方程 ()定義在區(qū)間 00x x x h? ? ? 上 ,且滿足初始條件 00()xy? ? 的解 . 構(gòu)造 Picard的逐次逼近函數(shù)序列 { ( )}n x? . 0000 1 0 0()( ) ( , ( ) ) xnnxxyx y f d x x x h?? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? ?( 1,2, )n? （ ） 命題 2 對(duì)于所有的 n ， （ ）中的函數(shù) ()nx? 在 00x x x h? ? ? 上有定義，連續(xù)且滿足不等式 0| ( ) |n x y b? ?? （ ） 證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明 當(dāng) 1n? 時(shí)，01 0 0( ) ( , )xxx y f y d? ? ??? ? ，顯然 1()x? 在 00x x x h? ? ? 上有定義、連續(xù)且有 001 0 0 0 0| ( ) | | ( , ) | | ( , ) | ( )xxx y f y d f y d M x x M h b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? 即命題成立 . 假設(shè) nk? 命題 2成立，也就是在 00x x x h? ? ? 上有定義、連續(xù)且滿足不等式 0| ( ) |k x y b? ?? 當(dāng) 1nk??時(shí)， 010( ) ( , ( ) )xkkxx y f d x? ? ? ?? ?? ? 由于 ),( yxf 在 R 上連續(xù) ,從而 ( , ( ))kf x x? 在 00x x x h? ? ? 上連續(xù)，于是得知 1()k x?? 在00x x x h? ? ? 上有定義、連續(xù) ,而且有 01 0 0| ( ) | | ( , ( ) ) | ( )xkk xx y f d M x x M h b? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 即命題 2對(duì) 1nk??時(shí)也成立 .由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有的 n 均成立 . 命題 3 函數(shù)序列 { ( )}n x? 在 00x x x h? ? ? 上是一致收斂的 .記 lim ( ) ( )nn xx???? ?, 00x x x h? ? ? 證明 構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 011( ) [ ( ) ( ) ]kkkx x x? ? ??????? 00x x x h? ? ? () 它的部分和為011( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( )nn k k nkS x x x x x? ? ? ???? ? ? ?? 于是 { ( )}n x? 的一致收斂性與級(jí)數(shù) ()的一致收斂性等價(jià) . 為此，對(duì)級(jí)數(shù) ()的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì) . 01 0 0 0| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) | ( )xxx x f d M x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?? () 02 1 1 0| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) |xxx x f f d? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 由 Lipschitz條件得知 002 1 1 0020| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | ξ ( ) ( )2!xxxxx x L dL M x dML xx? ? ? ? ? ???? ? ??????? 設(shè)對(duì)于正整數(shù) n ,有不等式 110| ( ) ( ) | ( ) !n nnn MLx x x xn????? ? ? 成立 ,則由 Lipschitz條件得知 ,當(dāng) 00x x x h? ? ? 時(shí) ,有 000111010| ( ) ( ) | | ( , ( ) ) ( , ( ) ) | | ( ) ( ) | ξ ( ) ! ( )( +1)!xn n n nxxnnxnxnxnnx x f f dLdMLxdnMLxxn? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???????? ? ?????????? 于是由數(shù)學(xué)歸納法可知 , 對(duì)所有正整數(shù) k ,有 1110| ( ) ( ) | ( ) !!kkkkkk M L M Lx x x x h?????? ? ? ? 00x x x h? ? ? () 由正項(xiàng)級(jí)數(shù) 11 !kKkhML k? ??? 的收斂性 ,利用 Weierstrass 判別法 ,級(jí)數(shù)