【正文】 寶雞文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版） 2021,3447. [3] 伍卓群 李勇編 常微分方程（第三版） [M],北京：高等教育出版社 ,2021. [4] 楊繼明 蔡炯輝 常系數(shù)非齊次線性微分方程組初值問題的求解公式 [J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報（自 然科學(xué)版） 。 總結(jié)： 本文研究了解的存在唯一性定理并在常微分方程的基礎(chǔ)上，分別用皮卡的逐步逼近法、歸納法、和格朗瓦爾不等式法證明了解的存在唯一性定理的唯一性： 對解存在但是否唯一做了分析，給出了解的唯一性的一點注記，使讀者加深了對唯一性定理的理解和條件上的限制：并且對解的初值的性質(zhì) 進行了分析。由上邊微分方程解得 ? ??????? xx dxryxfeyz 0 1 ]),([0??? ， 故存在 ? ???? ?????? xx dxyxfy eyy00]),([000lim ???? ， ? ????? xx dxy φxfeyφ 0 ]),([0， 顯然，它是 00, yxx 的連續(xù)函數(shù)。 2）設(shè)由初值 ),( 00 yx 和 0000 ),( yyyx ??? 足夠小，所確定的解分別為 ),( 00 yxxy ?? 和 ),( 000 yyxxy ??? ? ， 則這兩個解均滿足積分方程 ??? xx dxyxfyy 0 ),(0 。 二、 解的延拓 （一） 局部利普希茲條件 ，即對于內(nèi)的每一點，有以其為中心的完全含于 G 內(nèi)的閉矩形 R 存在，在 R 上 ),( yxf 關(guān)于 y 滿足 利普希茲條件 ． （二） 解的延拓定理 如果方程 ()右端 的 函數(shù) ),( yxf 在 有界 區(qū)域內(nèi)連續(xù) ，且 在 G 內(nèi) 關(guān)于 y 滿足局部利普希茲條件， 則 方程 ()的通過 G 內(nèi)任意一點 ),( 00 yx 的解 )(xy ?? 可以延拓，直到點))(,( xx? 任意接近區(qū)域 G 的邊界．以向 x 增大的一方的延拓來說，如果 )(xy ?? 只能延拓到區(qū)間 mxx ??0 上，則當(dāng) mx? 時， ))(,( xx? 趨于區(qū)域 G 的邊界． （三） 推論 如果 G 是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下， 方程 ()的通過 ),( 00 yx 的解)(xy ?? 可以延拓，以向 x 增大的一方的延拓來說，有下面兩種情況： (1) 解 )(xy ?? 可以延拓到區(qū)間 ),[ 0 ??x ； (2) 解 )(xy ?? 只可以延拓到區(qū)間 ),[ 0 mx ，其中 m 為有限數(shù)，則當(dāng) mx? 時，或者 )(xy ?? 無 界，或者點 ))(,( xx? 趨于區(qū)域 G 的邊界． 三、 解對初值的連續(xù)性和可微性定理 （一） 解關(guān)于初值的對稱性 定理 設(shè)方程 ()的滿足初始條件 00)( yxy ? 的解是唯一的，記為),( 00 yxxy ?? ，則在表達式中， ),( yx 和 ),( 00 yx 可以調(diào)換其相對位置，即在解的存在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式 ),( 00 yxxy ?? （二） 解對初值的連續(xù)依賴性 1引理 如果函數(shù) ),( yxf 在某區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足利普希茲條 件， 則對方程 ()的任意兩個解 )()( xx ?? 和 ，在它們的公共存在區(qū)間成立著不等式 0xxL00 e|)()(||)()(| ???? xxxx ???? () 其中 0x 為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值． 2 解對初值的連續(xù)依賴性 定理 設(shè) ),( yxf 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足局部利普希茲條 件，Gyx ?),( 00 ， ),( 00 yxxy ?? 是 ( ) 的滿足初始條件 00)( yxy ? 的解，它在區(qū)間 bxa ?? 上有定義 )( 0 bxa ?? ， 則 對 于 任 意 給 定 的 0?? ， 存 在 正 數(shù) ),( ba??? ? 使 得 當(dāng)2202100 )()( ????? yyxx 時， 方程 ()的滿足條件 00)( yxy ? 的解 ),( 00 yxxy ?? 在區(qū)間bxa ?? 上也有定義，并且 bxayxxyxx ???? ,|),(),(| 0000 ??? 3解對初值的連續(xù)性 定理 若 ),( yxf 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足局部利普希茲條件， 則 方程 ()的解 ),( 00 yxxy ?? 作為 00, yxx 的 函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的． (三 )解對初值的可微性 1 解對初值的可微性 定理 若 ),( yxf 及yf??都 在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)， 則 方程 ()的解 ),( 00 yxxy ?? 作為 00, yxx 的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是可微的． 例題 假設(shè)函數(shù) ),( yxf 及yf??都在區(qū)域 G 內(nèi)連續(xù)，又 ),( 00 yxxy ?? 是方程 ),( yxfy ?? 滿足初始條件 ),( 0000 yxxy ?? 的解，試證0y??? 存在且連續(xù)，并寫出其表達式。 在區(qū)間411??x上， )(2 x? 與 )(x? 的誤差為 32322 41!34)!12()()( LhMLxx ???? ??， 取 Lyyf ?????? 22， 所以 24141!324)()( 322 ???? xx ??。 解 設(shè) 22),( yxyxf ?? ，顯然，方程在 D 上滿足解的存在唯一性定理，則 1,1,4),(m a x),( ???? ? bayxfM Dyx ， 所以 41)41,1m in(),m in( ??? Mbah ， 方程過點 )0,1(? 的解的存在區(qū)間為： 411??x ，即 4345 ???? x 。利用此序列求近似解時，須驗證初值問題的解存在唯一，否則求出的結(jié)果可能并不是我們想要的近似解。 0)(0 ?xφ ， 212)( 211 ??? ? xx dxxφ x ， 3011412620212)(2351222 ?????????????? ???????? ??? ? xxxxdxxxxφ x 。 解 由解的存在唯一性定理知， 1）， 2）中的 初值問題 的解分別在 )0,0( ， )0,1( 的鄰域內(nèi)存在且唯一。下面求它們的近似解。 ( , )yf x y L? ，則李普希茲條件條件成立 . 事實上 2 1 21 2 1 212( , ( ) )| ( , ) ( , ) | | || | | |f x y y yf x y f x y y yyL y y?? ? ?? ? ???? 這里 12( , ) , ( , ) , 0 1x y x y R ?? ? ?. 如果 ),(39。 2） 構(gòu)造近似解函數(shù)列 { ( )}n x? 任取一個連續(xù)函數(shù) 0()x? ，使得