常微分方程--第三章一階微分方程的解的存在定理(31-32)(參考版)
2025-01-23 04:55本頁面
【正文】 ),(),( yyLyxfyxf ???.),(, 條件滿足局部內(nèi)關(guān)于在則稱恒成立 L i p s c h i t zyGyxf.),(,),(),(條件滿足局部內(nèi)關(guān)于在則內(nèi)連續(xù)在及若L i p s c h i t zyGyxfGyxfyxf y注 3 解的延拓定理 定理 .))(,(,)(),()(.),(,),()(00的邊界任意接近直到點可以延拓的解內(nèi)任一點通過那么方程件條滿足局部關(guān)于內(nèi)且在在中連續(xù)在有界區(qū)域右側(cè)函數(shù)如果方程GxxxyyxGLi p s c h i t zyyxfGGyxf???.))(,(,)(,0邊界的趨于區(qū)域時則當(dāng)上間只延拓到區(qū)如果增大的一方來說以向Gxxmxmxxxyx??????證明 初值問題由解存在唯一性定理 ,),( 00 Gyx ??00( , ), ( 2)()dyf x ydxy x y????? ??.),( 00 hxxxy ??? 解的存在唯一區(qū)間為存在唯一解 ?則初值問題為心作一小矩形以取,),(),(,11111001GRyxxyhxx???? ?11( , ), ( 3 )()dyf x ydxy x y????? ??11( ) , 0 .y x x x h?? ? ? ?存 在 唯 一 解 解 的 存 在 唯 一 區(qū) 間 為),()(,),()( 11xxxx??????應(yīng)有在兩區(qū)間的重疊部分由唯一性定理因),()(111 xxxxhx ?? ???? 時即當(dāng)定義函數(shù) ,),(),()(11000000*????????????hxxhxxhxxhxxx???.],[)),3()(2()()(, 1100*上有定義的唯一解在或滿足為方程那么 hxhxxy ??? ?.),()2()(一段在定義區(qū)間向右延長了的解滿足這樣我們已把方程xy ??,)()()2()(00*的向右方延拓區(qū)間在定義為解的解滿足即方程hxxxyxy???? ??,10000 上即將解延拓到較大區(qū)間 hhxxhx ?????.)( 向左方延拓同樣方法可把解 xy ?? 以上這種把曲線向左右兩方延拓的步驟可一次一 次地進行下去 .直到無法延拓為止 . .)()2()( xy ??的一個解滿足即得到 它已經(jīng)不能向左右兩方繼續(xù)延拓的 ,即得到了 () 的飽和解 . 最后得到一條長長的積分曲線 , 推論 1 上的初值問題對定義在平面區(qū)域 G.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy???????? 其中,),( 條件滿足局部內(nèi)連續(xù)且關(guān)于在若 L ip s c h it zyGyxf則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解 . 推論 2 為初值問題設(shè) )( xy ??.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy???????? 其中., 一定是開區(qū)間則該飽和解的飽和區(qū)間一個飽和解 I證明 ,不是開區(qū)間若飽和區(qū)間 I],( ???I設(shè) G?))(,( ???則,)( 還可以向右延拓這樣解 xy ??矛盾從而它是非飽和解 ,同樣討論時對 ,),[ ???I.))(,(,)( Gxxx ??? ?? ??? 時或即推論 3 有下面的兩種情況一方的延拓來說減少增大向以可以延拓的解的通過點方程在上面延拓定理條件下是無界區(qū)域如果,)(,)(),()(,00xxyyxG??],)((,[)()1( 00 xxxy ????? 可以延拓到區(qū)間解 ?Gxxmymxmxmmxxy?????))(,(,)(,],)((,[)()2( 00???或者無界或者時當(dāng)為有限數(shù)其中可以延拓到區(qū)間解例 1 討論方程 212 ?? ydxdy .)3,2( ln 的解存在區(qū)間通過點 ?解 該方程右側(cè)函數(shù)確定在整個 xy平面上且滿足解 的存在唯一性定理及解的延拓定理條件 .其解為 ,11 xxcecey???的解為故通過點 )3,2( ln ?,11 xxeey???),0( ??這個解的存在區(qū)間為.,0,0,)3,2( l n,???????yx 時因但向左只能延拓到的解向右可延拓到通過點如圖例 2 2ydxdy ?.)1,1(),0,0( 的解存在區(qū)間通過點中的方程研究定義于帶域 32 ??? x解 ,),( 2處處連續(xù)yyxf ?,條件滿足局部且在帶域中關(guān)于 L ip s c h it zy方程通解為 ,1xcy ??.0: ?y此外還有解.0,0)0,0(的邊界能達(dá)到的兩端都積分曲線的解為方程過Gyy ??,2 1)1,1( xy ??的解為方程過 ,2??x它的左端達(dá)到。111111111111),(),(),(},|),{(,),(),(RyxyxbayxLGbyyaxxyxRGyxyxfG???????????39。39。 解的延拓 問題提出 對于初值問題 00( , ) ()dyf x ydxy x y????? ??,: 00 byyaxxR ????, 在一定條件下告訴我們上節(jié)解存在唯一性定理,0 上存在唯一它的解在區(qū)間 hxx ??),(),m i n (),(yxfM axMMbahRyx ???這
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