【正文】 解： 將方程左端分組 3 4 2( ) 2 0x y d x x d y y d x? ? ?31x前一組有積分因子 和通積分 xy c?后一組有積分因子 21y和通積分 cx?)),((),( 222 yxFGyx? 是第二組的積分因子 , 如果能選取的 )(1 uG和 ),(2 uG使得 )),((),()),((),( 222111 yxFGyxyxFGyx ?? ?則 )),((),(),(111 yxFGyxyx ?? ?就是方程的一個 積分因子 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從而得原方程的積分因子為 用它乘原方程得 2512( ) 0() d x y d xx y x??所以方程的通解為 : 34221xyCx? ?外加特解 0x? 和 0y?我們要尋找可微函數(shù) 12GG和使 )(1)(1 2213 xGyxyGx ?只要取 52211)(1),(xxGxyyxG ??251yxu ?。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這是一個全微分方程。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由定理知，方程有一個僅與 利用積分因子的表達(dá)式 ( ) e xp( )MNyxu x dxN?? ???? ?得 ( ) e x p ( ) xu x d x e???對方程兩邊同乘以積分因子 xe 得 222( 2 ) ( ) 02x x x xy e y e d x y e e d y? ? ? ?又因為 1xxMN yeyxN y e?? ? ??? ??? 它與 y 無關(guān)。 ).),(),(),(e x p()( dxyxNxyxNyyxMx ? ???????易證上式就是方程的一個積分因子 ,故定理得證 . 例： 求微分方程 2( 2 ) ( ) 02 xxy y e d x y e d y? ? ? ?的通解。 解： 對方程有 232 126 yxyxxuNyuM ???????對方程兩邊同乘以 2xy 后，再利用湊微分法 2 2 3 3 3 4 2( 3 4 ) ( 2 3 ) 0x y x y d x x y x y d y? ? ? ?2 2 3 3 3 4 23 2 4 3 0x y d x x y d y x y d x x y d y? ? ? ?3 2 2 2 3( ) 3 2d x y x y d x x y d y??4 3 3 3 4 2( ) 4 3d x y x y d x x y d y??∴ 通解為 : Cyxyx ?? 3423 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從上面的例子可看出 ,當(dāng)確定了積分因子后 , 很容易求出其通解 ,但問題是 : (1) 積分因子是否一定存在 ? (2) 如何求積分因子 ? 這兩個問題是十分困難的問題 ,一般來說無法 給出答案 ,但對一些特殊的函數(shù)或方程是可以給出 一些充分條件的 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ) ( , )()( , )M x y N x yyxN x y?????因子得充要條件是 定理 有一個僅依賴 微分方程 0),(),( ?? dyyxNdxyxM的積分因子得充要條件是 : 于 x有關(guān)； x僅與 同理，方程有一個僅依賴于 的積分 y( , ) ( , )()( , )N x y M x yxyM x y?? ??? 僅與 y 有關(guān)。 是全微分方程。 由于 21c os sin ( sin )2x x dx d x?2 2 2 21()2x y d x y x d y d x y??21()2y dy d y? 由于 (3)湊微分法 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? 方程的通解為： 2 2 2 2s i n x x y y c? ? ?利用條件 (0 ) 2y ? 得 4c?最后得所求初值問題得解為： 2 2 2s i n ( 1 ) 4x y x? ? ?根據(jù)二元函數(shù)微分的經(jīng)驗 ,原方程可寫為 0)(s i nc o s 22 ???? y d ydyyxdxxyx d xx 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注 : 定理 NM, 在區(qū)域 R 中連續(xù)且有 例 : 022 ??? yx y d xx d y顯然 解 : 22 yxx? 22 yxy?? 以及偏導(dǎo)數(shù)在坐標(biāo) 原點處不存在 ,通過湊微分方法得 : 連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ,可利用線積分與路徑 無關(guān)來求 單值函數(shù) ),( yxF ,若 NM, 及其偏導(dǎo)數(shù)在 R不連續(xù)或無定義 ,函數(shù) ),( yxF 就可能是多值的 . 中 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )( a r c t a n22 xydyx y d xx d y ???因此 xyyxF a r c t a n),( ?它不是一個單值函數(shù) . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 若一個方程不是全微分方程，我們可以用 積分因子法將其變?yōu)槿⒎址匠獭? ,2c o s),( yxexy yxM ???? yxexxyxN 2c os),( ???? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)偏積分法 的通解 . 例： 求方程 0)s in2()( ???? dyyxdxye x 由于 解： yeyxM x ??),(yxyxN s in2),( ??xyxNyyxM?????? ),(1),(假設(shè)所求全微分函數(shù)為 ),( yxF ,則有 ),(),( yxMyex yxF x ?????),(s in2),( yxNyxy yxF ?????求 ),( yxF 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(),( yyxedxyeyxF xx ?????? ?而 yxy yxF s in2),( ????即 yxyx s in2)( ???? ?從而 yy s in2)( ????yy c o s2)( ??即 CyxyeyxF x ???? c o s2),( 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例： 驗證方程 22( c o s s i n ) ( 1 ) 0x x x y d x y x d y? ? ? ?是全 微分方程，并求它滿足初始條件： 的解。0( , ) ( , ) ( )N x y N x y y?? ? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例： 驗證方程 2( c o s 2 ) ( s i n 2 ) 0yyy x x e d x x x e d y? ? ? ? ?是全微分方程，并求它的通解。( , ) ()xxN s y ds ys ??????二 .再證充分性 構(gòu)造函數(shù) 滿足 0),(),( ?? dyyxNdxyxM),( yxF設(shè) 滿足 ( , ) ( , )M x y N x yyx?? ???),(),( yxNyxM令 在矩形 R中取一點 00P(x ,y )P(x,y)是 的一個動點， R取 )(),(),(0yd