第二章一階微分方程的初等解法(參考版)
2025-07-23 18:49本頁面
【正文】 解 : 則表面積為雪球的體積為設(shè)在時刻 ),(),( tstvt)()( tksdttdv ??根據(jù)球體的體積和表面積的關(guān)系得 )(3)4()( 323231tvts ??再利用題中條件得引入新常數(shù) ,3)4( 3231k?? ?3232313)4( vkdtdv ????? 36)2(,288)0( ?? vv,32v???分離變量并積分得方程的通解為 .)(271)( 3tctv ???由初始條件得 3369,636 ??? ??c代入得雪球的體積隨時間的變化關(guān)系為 .)312(6)( 3ttv ?? ?].4,0[: ?t實際問題要求注作業(yè) ? P31 1, 3, ? P31 6,9。第二章 一階微分方程的初等解法 167。 變量分離方程與變量變換 yxyedxdy ??? ?122 ?? yxdxdy先看例子： xy eye?定義 1 形如 )()()( yxfdxdy ??方程 ,稱為 變量分離方程 . .,)(),( 的連續(xù)函數(shù)分別是這里 yxyxf ?),( yxFdxdy ?一、變量分離方程的求解 ,1 0 分離變量,)()(dxxfydy ??這樣變量就“分離”開了 . )()()(cdxxfydy ?? ???的某一原函數(shù))(1 y?的某一原函數(shù))( xf.)(),()( 的解就為所確定的函數(shù)由 cxy ??)()()( yxfdxdy ??兩邊積分得02寫成將時當 )(,0)( ?y?例： ? ?122 ?? yxdxdydxxy dy 22 1 ??Cdxxy dy ??? ?? 22 1Cxy ?? 331a r c t a n分離變量 : 兩邊積分 : .,)(,)(,0)(, 000必須予以補上的通解中它不包含在方程可能的解也是則使若存在 yyyy ???注 : 例 1 求微分方程 )101( yydxdy ??的所有解 . 解 : 再積分方程兩邊同除以
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