常微分方程的初等解法畢業(yè)論文(已修改)
2025-06-30 13:01 本頁(yè)面
【正文】 常微分方程的初等解法1．常微分方程的基本概況 ：自變量﹑未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）組成的關(guān)系式，得到的便是微分方程，通過(guò)求解微分方程求出未知函數(shù)，自變量只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。：常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)﹑演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理﹑化學(xué)﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑醫(yī)學(xué)﹑經(jīng)濟(jì)和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠獭Ｈ缗ｎD運(yùn)動(dòng)規(guī)律、萬(wàn)有引力﹑能量守恒﹑人口發(fā)展規(guī)律﹑生態(tài)總?cè)焊?jìng)爭(zhēng)﹑疾病傳染﹑遺傳基因變異﹑股票的漲伏趨勢(shì)﹑利率的浮動(dòng)﹑市場(chǎng)均衡價(jià)格的變化等。對(duì)這些規(guī)律的描述﹑認(rèn)識(shí)和分析就歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)的常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)各個(gè)領(lǐng)域。： 常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點(diǎn)簡(jiǎn)述一下，以了解常微分方程的特點(diǎn)。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問(wèn)題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對(duì)某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究?！ ? ： 現(xiàn)在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門學(xué)科的理論更加完善。一階常微分的初等解法包括變量分離方程與變量變換﹑可以化為變量分離方程的類型﹑線性微分方程與常數(shù)變易法﹑恰當(dāng)微分方程與積分因子，下面我們就具體分析一階常微分方程的初等解法。、變量分離方程法形如，（）的方程，稱為變量分離方程，這里的，分別是x，y的連續(xù)函數(shù)。如果，我們可將（）改寫成，這樣變量就“分離”開來(lái)了。兩邊積分得到，（）。例1：方程就可以用變量分離法求解方程解： 變量分離，得到 ， 兩邊積分，即得 ， 因而，通解為 ，（c為任意常數(shù)）、可化為變量分離方程的類型(1) 形如，（）的方程，稱為齊次微分方程，這里是u的連續(xù)函數(shù)。作變量變換，（）即，于是，（）.將（），（）代入（），則原方程變?yōu)?，整理后，得?().方程（）是一個(gè)變量分離方程，這就所為的可以化為變量分離的方程。例2方程 就是一個(gè)可以化為變量分離的方程。解 這是齊次微分方程，以 及代入，則原方程變?yōu)?。即?將上式分離變量，既有 ， 兩邊積分，得到 ，（為任意常數(shù)）整理，得到 ，令，得到 將代入上式，得到方程的通解為 (2)形如,()的方程也可以經(jīng)變量變換化為變量分離方程，，，均為常數(shù)。 我們分三種情況來(lái)討論： ①(常數(shù))情形。這時(shí)方程化為，有通解，其中c 為任意常數(shù)。 ②情形。令，這時(shí)有是變量分離方程。 ③情形。如果方程()中，不全為零，方程右端分子﹑分母都是x，y的一次多項(xiàng)式，因此（）.代表Oxy平面上兩條相交的直線，設(shè)交點(diǎn)為。若令（）。則（）化為從而（）變?yōu)椋ǎ?。因?
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