【正文】 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目： 常 微分方程求解的高階方法 學(xué)生姓名： 圣近 學(xué)號(hào)： JB074219 院（系）： 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 專業(yè)： 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 入學(xué)時(shí)間： 2021 年 9 月 導(dǎo)師姓 名： 汪繼文 職稱 /學(xué)位： 教授 導(dǎo)師所在單位： 安徽大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 I 常微分方程的高精度求解方法 摘 要 本文主要討論了常微分方程的高精度求解方法的相關(guān)解法問題。文章首先 案例引入微分方程概念，然后 給出了微分方程的基本概念?？茖W(xué)和工程中建立數(shù)學(xué)模型時(shí)常用到微分方程。由于它們通常沒有已知的解析解，因而需要求其數(shù)值近似解。先從常微分方程解析解法出發(fā)，分析解析解法在實(shí)際運(yùn)用中的局限性，引入常微分方程的數(shù)值解法，呈現(xiàn)常微分方程數(shù)值求解的三個(gè)步驟：將問題離散化，建立或?qū)ふ乙粋€(gè)遞推格式，按步進(jìn)方式計(jì)算。再從對(duì)精度需求出發(fā)從低階數(shù)值方法到高階數(shù)值方法進(jìn)行逐步的探討，分析 各種方法的數(shù)學(xué)原理，闡述其推導(dǎo)方法，比較不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)，重點(diǎn)介紹實(shí)用的龍格 — 庫塔方法、歐拉方法、休恩方法、泰勒級(jí)數(shù)法和預(yù)報(bào) — 校正方法，并以編寫相應(yīng)程序作總結(jié)。最后，再討論高階常微分方程和一階常微分方程組：一般的高階常微分方程都可以通過相應(yīng)的變量代換轉(zhuǎn)化為一階常微分方程組，一階常微分方程的初值問題求數(shù)值解與一階常微分方程的初值問題求數(shù)值解的方法基本相同。 關(guān)鍵詞：龍格 — 庫塔方法；歐拉方法；休恩方法；泰勒級(jí)數(shù)法；預(yù)報(bào) — 校正方法； 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 II High accuracy method for solving ordinary differential equations Abstract This paper discusses the accuracy method for solving ordinary differential equations related to solution problems. The article first case to introduce the concept of differential equations, and then gives the basic concepts of differential equations. Science and engineering often use a mathematical model equations. As they often do not have known analytic solution, and thus demand for its numerical approximate solution. Start with the analytical solution of ordinary differential equations, analyzes the analytical solution of the limitations in the practical application, the introduction of numerical solution of ordinary differential equations, numerical solution of ordinary differential equations presented in three steps: discretization of the problem, create or find a recursive format is calculated by step. Starting from the demand for accuracy and then from low to high numerical method of step by step numerical method to analyze various methods of mathematical theory to explain their derivation, pare the advantages and disadvantages of different methods, focusing on practical Runge Kutta method, Euler method, Bethune method, Taylor series method and prediction correction methods, and procedures for the preparation of the corresponding summary. Finally, discuss the higher order ordinary differential equations and first order ordinary differential equations: general higher order ordinary differential equations can be substituted by the corresponding variable into a firstorder ordinary differential equations, first order initial value problems for ordinary differential equations numerical solution with an initial value problem of differential equation numerical solution method is basically the same. Keywords: Runge Kutta methods。 Euler method。 Huon method。 Taylor series method。 prediction correction。 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 III 目 錄 第一章 前 言 .................................................. 1 案例引入微分方程概念 .................................... 1 微分方程的基本概念 ...................................... 1 微分方程及微分方程的階 ............................. 1 微分方程的解、通解與特解 ............................ 1 微分方程的初值條件及其提法 .......................... 2 微分方程的解的幾何意義 .............................. 2 從解析方法到數(shù)值方法概述 ................................. 3 常溫分方程的離散化 ...................................... 4 第二章 數(shù)值解法公共程序模塊分析 ................................. 5 第三章 歐拉（ Euler）方法 ....................................... 7 Euler 方法思想 .......................................... 7 Euler 方法的誤差估計(jì) .................................... 8 改進(jìn)的 Euler 方法 ........................................ 8 梯形公式 .......................................... 8 改進(jìn) Euler 法 ....................................... 9 第四章 休恩方法 .............................................. 10 休恩方法思想 .......................................... 10 休恩方法的步長和誤差 ................................... 10 第五章 泰勒級(jí)數(shù)法 ............................................ 11 泰勒定理 .............................................. 11 N 次泰勒方法 ........................................... 12 第六章 龍格 庫塔（ Runge— Kutta 法） ............................ 13 龍格 庫塔（ Runge— Kutta）方法基本思想 .................... 13 階龍格 庫塔（ Runge— Kutta）方法公式 ..................... 14 第七章 預(yù)報(bào) 校正方法 .......................................... 15 MilneSimpon 方法 ...................................... 16 誤差估計(jì)于校正 ......................................... 16 正確的步長 ............................................ 17 第八章 一階微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法 ................... 17 一階微分方程組的數(shù)值解法 ............................... 17 高階微分方程的數(shù)值解法 ................................ 18 第九章 常微分方程模型數(shù)值解法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 ................. 19 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 IV 耐用消費(fèi)新產(chǎn)品的銷售規(guī)律模型 ............................ 19 問題的提出 ....................................... 19 模型的構(gòu)建 ....................................... 19 模型的求解 ....................................... 20 司機(jī)飲酒駕車防避模型的數(shù)值解法 .......................... 21 模型假設(shè) ......................................... 22 模型建立 ......................................... 22 模型求解 ......................................... 24 模型評(píng)價(jià) ......................................... 25 誠懇建議 ......................................... 25 模型推廣 ......................................... 26 主要參考文獻(xiàn) ................................................. 26 致 謝 ..................................................... 27 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 1 第一章 前 言 案例引入微分方程概念 在科技、工程、經(jīng)濟(jì)管理、生態(tài)、生態(tài)、刑偵等各個(gè)領(lǐng)域微分方程有著廣泛的應(yīng)用。我們看一實(shí)例。 案例：一次謀殺案，在某天下午四點(diǎn)發(fā)現(xiàn)尸體，尸體的體溫為 30℃，假設(shè)當(dāng)時(shí)屋內(nèi)空間的溫度保護(hù) 20℃不變，現(xiàn)判斷謀殺是何時(shí)發(fā)生的？ 解決此問題首先必須要從尸體溫度的變化尋求關(guān)系式，這就需要知道物理學(xué)中的加熱與冷卻規(guī)律。物理學(xué)家牛頓（ Newton） 曾提出，一塊熱的物體，其溫度下降的速度是與它自身溫度的差值成正比。同樣，一塊冷的物體，其溫度