計(jì)算方法七常微分方程的數(shù)值解法(已修改)
2025-05-14 05:32 本頁面
【正文】 第 6章 常微分方程的數(shù)值解法 ???????039。)(),(uaubtautfu0( ) ( , ( ) ) dtau t u f u? ? ??? ?uuLutfutf ??? ),(),(考慮常微分方程的初值問題 (61) (62) 則（ 61）的解存在且唯一 。 或與其等價(jià)的積分方程 ，對(duì)任意 ),( utf L],[ bat? 滿足 Lipschitz條件，即存在常數(shù) ，均有 若 它是一種離散化方法，利用這種方法，可以在一系列事先取定的 中的離散點(diǎn)（稱為節(jié)點(diǎn)） ],[ babttta n ????? ?21)(tu )(,),(),( 21 Ntututu ?上求出未知函數(shù) 之值 的近似值 Nuuu , 21 ? Nuuu , 21 ?。 而 通常稱為初值問題的 數(shù)值解 。 首先我們利用數(shù)值積分公式建立求解（ 61）或（ 62）的數(shù)值方法。 什么是數(shù)值解法？ （通常取成等距，即 稱為步長） Niihtt i ,1,0 ???? 0?h其中 hnatn ?? ,N abh ?? Nn ,2,1,0 ?? 基于數(shù)值積分的解法 由 （ 62）， 將節(jié)點(diǎn)取為 ???????? ? ??001)())(,()()( 1utudttutftutu nnttnn（ 63） 的近似值 )( ntu nu)( 1?ntu .1?nu 如果 的近似值 已經(jīng)求出，則通過計(jì)算 (63)右端 項(xiàng)的數(shù)值積分可求出 ? ? ???? 1 ))(,()()( 1 nnttnn dttutftutu),(1 nnnn utfhuu ???1,2,1,0 ?? Nn ? 首先，對(duì) (63)右端積分項(xiàng)使用左矩形求積公式，則得 令 上式稱為 Euler求解公式 ，又稱 矩形公式 。 (64) 一、 Euler法 ))(,()( nnn tutfhtu ? 歐 拉 L233。onard Euler 萊昂納爾 歐拉（ L233。onard Euler, 1707～ 1783）是歷史上著作最多的數(shù) 學(xué)家，被同時(shí)代的人稱為 “ 分析的化身 ” 。人們?cè)u(píng)價(jià)他： “ 歐拉計(jì)算毫不費(fèi)力 ，就像人呼吸、或者鷹在風(fēng)中保持平衡一樣 ” ，歐拉 算法學(xué)家，為解決特 殊類型的問題設(shè)計(jì) “ 算法
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