【正文】 為兩類：一類是十分善于接受新事物的，稱為“創(chuàng)新型”顧客，他們往往從產(chǎn)品的廣告，制造商提供的產(chǎn)品說 明書和商店的樣品了解了產(chǎn)品的功能和性能后立即決定是否購買；另一類顧客則相對比較保守，稱為“模仿型 顧客，他們要根據(jù)若干已購買該商品的用戶的實(shí)際使用經(jīng)驗(yàn)所提供的口頭信息來決定是否購買。利用上述公式給出的數(shù)值常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 21 算法 ， 通過數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)。 酒精在人體內(nèi)的循環(huán)系統(tǒng)分為胃腔系統(tǒng) (系統(tǒng) I)和體液系統(tǒng) (系統(tǒng) II)，兩個(gè)系統(tǒng)的容積 (即血液體積或酒精分布容積 )在過程中保持不變。 循環(huán)過程只考慮由體外進(jìn)入胃腔，再由胃腔進(jìn)入體液，最后由體液排除體外。 問題的提出 《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閩值與檢驗(yàn)》國家新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于 20毫克／百毫升，小于 80毫克／百毫升為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于 80毫克／百毫升為醉酒駕車。 模型的構(gòu)建 將消費(fèi)者獲得的信息分為兩類，一類稱為“搜集型 ” 的，來自廣告、產(chǎn)品說明、樣品，“創(chuàng)新型”的顧客在獲得此類信息就可以做出是否購買的決定：另一類信息稱為“體驗(yàn)型”的，即用戶使用后獲得的實(shí)際體驗(yàn)，經(jīng)常以口頭形式傳播，“模仿型 顧客在獲得此類信息后方能 決定購買與否。若矩陣 A的特征值 ( 1, 2, , )i im? ? 滿足關(guān)系 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 19 11R e 0 ( 1, 2 , , )m a x R e m in R ei iiimimim??????????? 則稱方程組（ ）為剛性方程組或 Stiff方程組，稱數(shù) 11m a x Re / m in Reiiimims ??????? 為剛性比。采用較小的步長可使振幅減小。下面，我們向大家介紹 MilneSimpon 方法。取既滿足這些方程、又較簡單的一組 ,i i i?? ? 可得 1 1 2 3 41122343( 2 2 )6( , )( , ) ( )22( , )22( , )nnnnnnnnnhy k k k kk f x yhkhk f x yhkhk f x yk f x h y hk??? ? ? ???????? ? ????? ? ???? ? ??? 這就是常用的 4 階龍格 — 庫塔方法（簡稱 RK 方法）。這就是龍格 — 庫塔方法的基本思想。然而在實(shí)際運(yùn)算中，通常用 h 和 2h 計(jì)算兩個(gè)近似結(jié)果集，然后比較其結(jié)果。要繼續(xù)求解，需要 1()yt 的一個(gè)估計(jì)值，歐拉方法的解能夠滿足這一目的，將它代入（ ）后，得到求解 11( , )ty 的公式，稱為休恩（ Heun）方法： 1 0 0 0 1 0 0 0( ) ( ) ( ( , ( ) ) ( , ( , ) ) )2hy t y t f t y t f t y h f t y? ? ? ? （ ） 重復(fù)這個(gè)過程，得到逼近解曲線 ()y yt? 的一系列點(diǎn)，在每一步中都用歐拉方法作為預(yù)報(bào)，然 后用梯形公式進(jìn)行校正，得到最終的值。因此，當(dāng) 012hL??時(shí)，迭代收斂。 假定用（ ）式時(shí)右端的 ny 沒有誤差，即 ()nny y x? ，那么由此算出 1 ( ) ( , ( ) ) ( )n n n ny y x hf x y x? ?? 局部截?cái)嗾`差指的是，按（ 3,3）式計(jì)算由 nx 到 1nx? 這一步的計(jì)算值 1ny? 與精確值1()nyx? 之差 11()nny x y??? 。 } 對程序中的諸名稱解釋如下： 符號常量 MAX 表示允許取的離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最大值，用于初始化數(shù)組； 變量 real 表示實(shí)際取的離散點(diǎn)的個(gè)數(shù)； 數(shù)組 X , Y , F 用于存放各 ix , iy , ( , )iif x y , 0,1, 2,..., 。 i=real。 i=78。 for(i=0。其中的 Taylor 展開法，不僅可以得到求數(shù)值解的公式，而且容易估計(jì)截?cái)嗾`差 。 所謂數(shù)值解法，就是求問題（ ）的解 y(x) 在若干點(diǎn) 0 1 2 Na x x x x b? ? ? ? ? ? 處的近似值 ( 1, 2 , )ny n N? 的方法， ( 1, 2, , )ny n N?? 稱為問題（ ）的數(shù)值解， 1n n nh x x???稱為由 nx 到 1nx? 的步長。yxyyyxxxx??????.)(,)( )( )1(00)1(0000 ?? ??? nn yxyy39。 再如傳染病傳染問題（人口增長模型問題）也要用到微分方程的知識。 Taylor series method?？茖W(xué)和工程中建立數(shù)學(xué)模型時(shí)常用到微分方程。再從對精度需求出發(fā)從低階數(shù)值方法到高階數(shù)值方法進(jìn)行逐步的探討，分析 各種方法的數(shù)學(xué)原理，闡述其推導(dǎo)方法，比較不同方法的優(yōu)缺點(diǎn)，重點(diǎn)介紹實(shí)用的龍格 — 庫塔方法、歐拉方法、休恩方法、泰勒級數(shù)法和預(yù)報(bào) — 校正方法，并以編寫相應(yīng)程序作總結(jié)。我們看一實(shí)例。?????????驗(yàn) 證 函 數(shù) ， 為 任 意 常 數(shù) 是二 階 微 分 方 程的 通 解 ， 并 求 此 微 分 方 程 滿 足 初 值 條 件 ：).的 特 解 3 Cxy ??例如 .d3d 2 的通解是 xxy ?.dd 22 的通解是 gt s ? 21 212 CtCgts ???又如 13 ?? xy例如 .d3d 2 的特解是 xxy ?221 gts ?又如 .dd 22 的特解是 gts ?.,)( ,| )( ,| 00000000000都是已知值其中或，或記作y39。 CCy 22212221e2e2 ee ???? ?? ，xx CCy 2221 e4e4 ??? 2 2 2 21 2 1 2( 1 . 3 ) 4 4 e 4 e 4 e 4 e 0x x x xy y C C C C??? ? ? ? ? ?把 它 們 代 入 微 分 方 程 的 左 端 ， 得 所以函數(shù) xx CCy 2221 ee ??? 是所給微分方程 ()的解 .又因?yàn)檫@個(gè)解中含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)，任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程 ()的階數(shù)相同，所以它是該方程的通解 . 0022122212( ) : 0 39。式（ 1,7）是個(gè)離散化的問題，稱為差分方程初值問題。 公共程序模塊如下 : 這里為了良好地比較，選用可求解析解的一階常微分方程作為討論 : 2= y , x [ 0,1] y ( 0) = 1 dy xdx y () 其解析式為 y ( x) = 1+2x ,h = /* Filename: */ include include 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 6 include define MAX 100 int real = 1。 E[i] = fabs( CY[i] Y[i])。 printf(%5s%8s%15s%15s%18s%14s,k,X[k],F[k],Y[k],CY[k],E[k])。 } 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 7 printf(\n)。這組公式求問題（ ）的數(shù)值解稱為向前 Euler 公式。式（ ）說明，向前 Euler 方法是一階方法，因此它的精度不高。 改進(jìn) Euler 法 按式（ ）計(jì)算問題（ ）的數(shù)值解時(shí)，如果每步只迭代一次，相當(dāng)于將 Euler 公式 與梯形公式結(jié)合使用：先用 Euler公式求 1ny? 的一個(gè)初步近似值 1ny? ，稱為預(yù)測值，然后用梯形公式校正求得近似值 1ny? ，即 ? ?11 1 1()( , ) ( , )2n n n nn n n n n ny y h f x yhy f x y f x y?? ? ?? ? ???? ? ? ???預(yù) 算（ ）y 校 正 式（ ）稱為由 Euler 公式和梯形公式得到的 預(yù)測 — 校正系統(tǒng)，也叫改進(jìn) Euler 法。 泰勒定理 設(shè) 1 0( ) [ , ]Ny t C t b?? ，且 ()yt 在不動點(diǎn) 0[ , ]kt t t b?? 處有 N 次泰勒級數(shù)展開： 1( ) ( ) ( , ( ) ) ( )Nk k N k ky t h y t hT t y t O h ?? ? ? ? （ ） 其中， 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 12 () 11()( , ( ) ) !jN jkN k kjytT t y t hj ??? ? （ ） ( ) ( )( ) ( , ( ))jjy t f t y t? 表示函數(shù) f 關(guān)于 t 的 ( 1)j? 次全導(dǎo)數(shù)。實(shí)際上，按照微分中值定理 應(yīng)有 1( ) ( ) ( ) , 0 1nnny x y x y x hh ??? ? ?? ? ? ? 注意到方程 ( , )y f x y?? 就有 1( ) ( ) ( , ( ) ) ( )n n n ny x y x hf x h y x h??? ? ? ? ? 不妨記 ( , ( ) )nnK f x h y x h??? ? ?，稱為區(qū)間 ? ?1,nnxx? 上的平均斜率。（ ）式又可表為 231 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n x yy y x h y x h f ff o h?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 注意到 2 31( ) ( ) ( ) ( ) ( )2n n n nhy x y x h y x y x o h? ? ??? ? ? ? 中 , xyy f y f ff? ??? ? ?，可見為使誤差 311( ) ( )nny x y o h????，只須令 1 2 2 11 , , 1 ( 6 . 4 )2 ?? ? ? ? ?? ? ? ? 待定系數(shù)滿足（ ）的（ ）式稱為 2 階龍格 — 庫塔公式。當(dāng)計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)，就可以利用 幾個(gè)已計(jì)算出的點(diǎn)來計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)。假設(shè)每步中預(yù)估和校正值的差緩慢變化，則在式（ ）中可用 kp 和 ky 分解替代 1kp? 和 1ky? ，得到如下的修正為： 11 28 29kkkk ypmp?? ??? （ ） 在校正過程中用該修正值替代 1kp? ，公式（ ）變?yōu)椋? 1 1 1 1 1( 4 ( , ) )3k k k k k khy y f f f t m? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 17 因此，改進(jìn) （修正）的 MilneSimpon 方法為 1 3 2 14 ( 2 2 )3k k k k khp y f f f? ? ? ?? ? ? ? （ ） 111 1 128 29( , )kkkkk k kypmpy f t m??? ? ????? （ ） 1 1 1 1( 4 )3k k k k khy y f f f? ? ? ?? ? ? ? （ ） 由（ ）和（ ）知 預(yù)估 — 校正方法 是休恩方法的一個(gè)改進(jìn)。 問題（ ）與（ ）形式上完全相同，故對初值問題（ ）所建立的各種數(shù)值解法可全部用于求解問題（ ）。 第九章 常微分方程模型數(shù)值解法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 耐用消費(fèi)新產(chǎn)品的銷售規(guī)律模型 問題的提出 新產(chǎn)品進(jìn)入市場后，一般會經(jīng)歷一個(gè)銷售量逐漸增加然后逐漸下降的過程。 模型的求解 很容易求出斯蒂芬斯一莫賽模型中的解析解。 4．根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開車 ? 5．根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國家標(biāo)準(zhǔn)寫一篇短文，給想喝一點(diǎn)酒的司機(jī)如何駕車