【正文】 nn n n n n n n n n nhN N f t N f t N f t N f t NhN N f t N f t N f t N f t Nn? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ?? ??????? 求得，且在它的精度要求達(dá)到很高情形下求出 2()Nt。然而對(duì)于耐用消費(fèi)品，情況有所不同，其生命曲線在開始有一個(gè)小的高峰，然后是一段平坦的曲線，甚至?xí)陆?，而后再次上升，達(dá)到高峰，從而呈雙峰形曲線。 設(shè)有 m階常微分方程初值問題 ( ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0 0 0( , , , ) ( 8 . 3 )( ) , ( ) , , ( )mmmmy f x y y y a x by a y y a y y a y????? ? ? ????? ? ??? 引入新變量 ( 1 )12, , , ,mmy y y y y y ??? ? ?問題 ()就化為一階微分方程初值問題 1 2 1 0( 1 )2 3 2 0( 2 )1 1 0( 1 )10()()( 8 .4 )()( , , , ) ( )mm m mmm m my y y a yy y y a yy y y a yy f x y y y a y?????? ??? ????? ? ???? ?? 然后用 （ ），就可以得到問題（ ）的數(shù)值解。如果 ( , ) 0yf t y ? ，而步長(zhǎng)過大，則預(yù)計(jì)估 — 校正方法可能不穩(wěn)定。該方法還可以確定步長(zhǎng)是否小到能得到的精確值，同時(shí)又大到能夠免除不必要的和費(fèi)時(shí)的計(jì)算。不難發(fā)現(xiàn)，若令12 1 , 1,2? ? ? ?? ? ? ?即為改進(jìn)的 Euler 公式。 向前 Euler 公式簡(jiǎn)單地取 ( , )nnf x y 為 K ，精度自然很低。 N 次泰勒方法 N 次泰勒方法的一般步驟為： 32 3211 2 ! 3 ! !NNkk d h d hdhy y d h N? ? ? ? ? ? ??? ? （ ） 其中在個(gè)步 0,1, , 1kM? ??? ?有 ()()jjkd y t? ， 1,2, ,jN? ??? 。 第四 章 休恩方法 休恩方法思想 休恩（ Heun）其實(shí)也是歐拉方法的改進(jìn)型，因此也叫做歐拉改進(jìn)法。 直觀上容易看出，用梯形公式計(jì)算數(shù)值積分要比矩形公式好。 向后 Euler 法與 Euler 法形式上相似，但實(shí)際計(jì)算時(shí)卻復(fù)雜得多。 i=78。 i=78。 } void showtable_s() //微分方程組輸出時(shí)用 { //內(nèi)容與 showtable() 類似 } // 輸出各離散點(diǎn)處的 X 值， Y 值， 導(dǎo)數(shù)值， 精 確值， 誤差值 // 分別對(duì)應(yīng)于 X[k]， Y[k]， F[k]， CY[k]， E[k] void showtable() //優(yōu)化輸出顯示 { int i,j。 /******以下代碼根據(jù)待求解的對(duì)象的特殊性進(jìn)行賦值和在 main()中選取 *****/ double func (double x, double y) //計(jì)算各離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值 { return y *x/y 。 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 5 （ ii）用數(shù)值積分方法 將問題（ ）的解表成積分形式，用數(shù)值積分方法離散化。 2 e 2 exxxxxxyyy C Cy C C??????????把 式 中 的 條 件 “ ” 及 “ ” 分 別代 入及中 ， 得 .41411220212121??????????CCCCCC，解得， ).ee(41 22 xxy ???初值條件的特解為于是所求微分方程滿足 從解 析方法到數(shù)值方法概述 求解常微分方程的解析方法很多，像變量分離法，積分因子法，遺憾的是實(shí)際上得到的大部分常微分方程都不能使用這些理論上的方法。xy39。物理學(xué)家牛頓（ Newton） 曾提出，一塊熱的物體，其溫度下降的速度是與它自身溫度的差值成正比。 關(guān)鍵詞：龍格 — 庫塔方法；歐拉方法；休恩方法；泰勒級(jí)數(shù)法；預(yù)報(bào) — 校正方法； 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 II High accuracy method for solving ordinary differential equations Abstract This paper discusses the accuracy method for solving ordinary differential equations related to solution problems. The article first case to introduce the concept of differential equations, and then gives the basic concepts of differential equations. Science and engineering often use a mathematical model equations. As they often do not have known analytic solution, and thus demand for its numerical approximate solution. Start with the analytical solution of ordinary differential equations, analyzes the analytical solution of the limitations in the practical application, the introduction of numerical solution of ordinary differential equations, numerical solution of ordinary differential equations presented in three steps: discretization of the problem, create or find a recursive format is calculated by step. Starting from the demand for accuracy and then from low to high numerical method of step by step numerical method to analyze various methods of mathematical theory to explain their derivation, pare the advantages and disadvantages of different methods, focusing on practical Runge Kutta method, Euler method, Bethune method, Taylor series method and prediction correction methods, and procedures for the preparation of the corresponding summary. Finally, discuss the higher order ordinary differential equations and first order ordinary differential equations: general higher order ordinary differential equations can be substituted by the corresponding variable into a firstorder ordinary differential equations, first order initial value problems for ordinary differential equations numerical solution with an initial value problem of differential equation numerical solution method is basically the same. Keywords: Runge Kutta methods。常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 題 目： 常 微分方程求解的高階方法 學(xué)生姓名： 圣近 學(xué)號(hào)： JB074219 院（系）： 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 專業(yè)： 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù) 入學(xué)時(shí)間： 2021 年 9 月 導(dǎo)師姓 名： 汪繼文 職稱 /學(xué)位： 教授 導(dǎo)師所在單位： 安徽大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 I 常微分方程的高精度求解方法 摘 要 本文主要討論了常微分方程的高精度求解方法的相關(guān)解法問題。 Euler method。同樣，一塊冷的物體，其溫度上升的速度是與他自身溫度同外界溫度的差值成正比。y39。 數(shù)值求解微分方程的方法基于有限維近似，這個(gè)過程稱為離散化，我們將用代數(shù)方程代替微分方程，用代數(shù)方程的解近似微分方程的解，對(duì)初值問題來說，近似解的值是在求解區(qū)間上一步步地產(chǎn)生的，因此求解常微分方程的數(shù)值方法也稱為離散變量法，在由一個(gè)離散點(diǎn)的值計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)的值時(shí)，一般會(huì)產(chǎn)生一定的誤差，這樣新的近似解將落在常微分方程的另一個(gè)解上，而這個(gè)解與開始所求的解是不同的，解的穩(wěn)定 性決定了這類誤差將隨時(shí)間的增大而放大或縮小。例如，對(duì)微分方程兩端積分，得 11( ) ( ) ( , ( ) ) ( 0 , 1 , ) ( 1 . 8 )nnxnn xy x y x f x y x d x n?? ? ? ?? 右邊的積分用矩形公式或梯形公式計(jì)算。 } double exact_value (double x) //計(jì)算各離散點(diǎn)解析解以測(cè)數(shù)值解精度 { return sqrt( *x + ) 。 printf (\n)。 i++) printf()。 i++) printf (=)。向前 Euler 公式是顯式的，可直接求解。梯形公式為二階方法。該方法引入一種新的思路，來構(gòu)造求解 [, ]ab 上的初值問題 ( , ( ))y f t y t?? ， 00()yt y? （ ） 要得到解 11[ , ]ty ，可以用微積分基本定理，在 01[ , ]tt 上對(duì) ()yt? 積分得 1100 10( , ( ) ) ( ) ( ) ( )ttf t y t d t y t d t y t y t?? ? ??? （ ） 其中 ()yt? 的不定積分為待定求函數(shù) ()yt 。 N 次泰勒方法的最終全局誤差是 1()NOh? 階的，因此可選擇所需大小的 N ，使得誤差足夠小。改進(jìn)的 Euler 公式可理解為 K 取 ( , )nnf x y ， 11( , )nnf x y??的平均值，其中 1 ( , )n n n ny y hf x y? ?? ，這種處理提高了精度?？梢宰C明，在 ? ?1,nnxx? 內(nèi)只取 2 點(diǎn)的龍格 — 庫塔公式精度最高為 2階。使用預(yù)估子和校正子的組合在每一步只與要進(jìn)行兩次函數(shù) (, )f t y 求值。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)小誤差遞減傳播時(shí)，結(jié)果穩(wěn)定；當(dāng)小誤差遞增傳播時(shí)候結(jié)果不穩(wěn)定。 最后需要指出的是，在化學(xué)工程及自動(dòng)控制等領(lǐng)域中，所涉及的常微分方程組初值問題常常是所謂的“剛性”問題。 如何解釋這一似乎與傳統(tǒng)的產(chǎn)品生命曲線理論相矛盾的現(xiàn)象昵 ?澳大利亞的斯蒂芬斯和莫賽觀察到購買耐用消費(fèi)品的人大致可以分