【正文】 兩 12( ) ( ) ( )N t N t N t??為時刻 t 購買該商品的總?cè)藬?shù)。理論上的分析表明，求解剛性問題所選用的數(shù)值方法最好是對步長 h 不作任何限制?？梢宰C明，其的步長 h 應(yīng)該滿足以下條件 ( , )yh f t y? （ ） 第八章 一階微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法 一階微分方程組的數(shù)值解法 設(shè)有一階微分方程組的初值問題 12( , , , , ) ( 1 , 2 , )()i i mi ioy f x y y y imy a y? ?? ?? ?? （ ） 若記 12( , , , )Tmy y y y? ， 0 10 20 0( , , , )Tmy y y y? ， 12( , , , )Tmf f f f? ，則初值問題（ ）可寫成如下向量形式 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計算機 (1)班 18 0( , ) ( 8 . 2 )()y f x yy a y? ??? ?? 如果向量函數(shù) ( , )f xy 在區(qū)域 D ： , ma x b y R? ? ? 連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足 Lipschitz條件，即存在 L0，使得對 ? ?,x ab?? ，12, my y R? ，都有 1 2 1 2( , ) ( , )f x y f x y L y y? ? ? 那么問題（ ）在 ? ?,ab 上存在唯一解 ()y yx? 。此時值 1kp? 已知，基于點 11( , )kktf??， ( , )kktf 和新點1 1 1 1 1( , ) ( , ( , ) )k k k k kt f t f t p? ? ? ? ?? 構(gòu)造 ( , ( ))f t yt 的新點的拉格朗日多項式，然后在區(qū)間11[ , ]kktt??上對該多項式積分，結(jié)果得 Simpon 公式： 1 1 1 1( 4 )3k k k k khy y f f f? ? ? ?? ? ? ? （ ） 誤差估計于校正 計算預(yù)估子和校正子的數(shù)值積分公式的誤差項都是 5()Oh 的，公式（ ）和（ ）的局部截斷誤差為 ( 5 ) 51 1 128( ) ( )90k k ky t p y c h? ? ??? （預(yù)估子的截斷誤差） （ ） ( 5 ) 51 1 11( ) ( )90k k ky t y y d h? ? ???? （校正子的截斷誤差） （ 7,5） 設(shè) h 足夠小，使得 (5)()yt在區(qū)間 31[ , ]kktt??上近乎為常數(shù)，則可消去式（ ）和式（ ）中的 5 階導(dǎo)數(shù)項，結(jié)果為 1 1 1 128( ) ( )90k k k ky t p y p? ? ? ?? ? ? （ ） 公式 （ ）給出的預(yù)估子誤差聚集基于兩個計算值 1kp? 和 1ky? ，而沒有使用高階導(dǎo)數(shù) (5)()yt，可用它來改進預(yù)估值。一般地，只有 ky 用來計算 1ky? 。為此我們分析局部截斷誤差 11()nny x y??? ，因為 ()nny y x? ，所以（ ）可以化為 1 1 1 2 212121( ) ( )( , ( ) ) ( )( , ( ) ) ( 6 .3 )( , ( ) ) ( , ( ) )( , ( ) ) ( )nnn n nnnn n x n ny n ny y x h k kk f x y x y xk f x h y x h kf x y x h f x y xh k f x y x o h???????? ? ? ??????? ? ? ??? ???? ??? 其中 2k 在點 ? ?, ( )nnx y x 作了 Taylor展開。 第六 章 龍格 庫塔（ Runge— Kutta 法） 龍格 庫塔（ Runge— Kutta）方法基本思想 回到 Euler 方法的基本思想 — 用差商代替導(dǎo)數(shù) — 上來。 第五 章 泰勒級數(shù)法 泰勒級數(shù)法有著廣泛的應(yīng)用 ， 并且是比較求解初值問題的各種不同數(shù)值方法的標(biāo)準(zhǔn) ， 它可設(shè)計為具有任意指定的精度 。 如果實際計算時精度要求不太高，用公式（ ）求解時，每步可以只迭代一次，由此導(dǎo)出一種新的方法 — 改進 Euler 法。顯然 p 越大，方法的精度越高。 變量 a,b,x0,y0 用于表示求解區(qū)間的左右端點和給定的初始點； 函數(shù) exact_value() 用于求解問題的精確解； 函數(shù) cal_error() 用于計算各離散點的截斷誤差； 函數(shù) showtable() 用于在屏幕上顯示計算結(jié)果； 第三章 歐拉（ Euler）方法 Euler方法 思想 Euler 方法就是用差分方程初值問題（ ）的解來近似微分方程初值問題（ ）的解，即由公式 （ ） 依次算出 ()nyx 的近似值 ( 1, 2, )nyn?? 。 printf(%%%%%,X[i],F[i], Y[i],CY[i],E[i])。 printf(\n)。 i++) { CY[i] = exact_value( X[i] )。 編程風(fēng)格 : 按照常微分方程數(shù)值解三個基本步驟 ： 將問題離散 化；建立遞推格式；按步進法計算， 所以求微分方程的數(shù)值解的算法框架都是 相同的，不同 的是所使用的遞推形式不同，則 可以用公共子程序來代替，對不同的方法的計算結(jié)果用統(tǒng)一的格式來顯示，同時也可以比較不同方法的精確度 [4]。 建立數(shù)值解法，首先要將微分方程離散化，一般采用以下幾種方法： （ i）用差商近似導(dǎo)數(shù) 若用向前差商 1( ) ( )nny x y xh? ? 代替 ()nyx? 代入（ ）中的微分方程，則得 1( ) ( ) ( , ( ) ) ( 0 , 1 , )nnnny x y x f x y x nh? ? ?? 化簡得 1( ) ( ) ( , ( ) )n n n ny x y x h f x y x? ?? 如果用 ()nyx 的近似值 ny 代入上式右端，所得結(jié)果作為 1()nyx? 的近似值，記為1ny? ， 則有 1 ( , ) ( 0 , 1 , ) ( )n n n ny y hf x y n? ? ? ? 這樣，問題（ ）的近似值可通過求解下述問題 10( , ) ( 0 , 1 , ) ( 1 . 7 )()n n n ny y h f x y ny y a? ? ? ??? ?? 得到，按式（ ）由初值 0y 可逐次算出 12,yy 。yxy nn ， 個初值條件：階微分方程需給出一般地，對于 ?常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計算機 (1)班 3 ，得 ，分別求一階及二階導(dǎo)數(shù)將函數(shù) xxxxCCy39。 微分方程的基本概念 微分方程及微分方程的階 含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (或微分 )的方程稱為微分方程； 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程 ； 未知函數(shù)是多元函數(shù)的 微分方程，稱為偏微分方 ； 2d 3 d ( )y x x? ， 2 2d ( )d s gt ? ()和 ()式均是微分方程 . 微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階 . 微分方程 ()是一階的，微分方程 ()是二階的 . 微分方程的解、通解與特解 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解 . 例如 3y x c??和 3y x 1??都是 3dy 3xdx? 的解 . 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計算機 (1)班 2 又如 21 212 CtCgts ???和 212s gt?都是 22dds gt ?的解 . 如果微分方程的解中含任意常數(shù) ,且獨立的 (即不可合并而使個數(shù)減少的 )任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解 . 不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解 . 微分方程的初值條件及其提法 用以確定微分方程解中任意常數(shù)的特定條件，稱為微分方程的初值條件 . 初值條件的提法 ： 當(dāng) x=x0 時， y=y0， 微分方程的解的幾何意義 . 微分方程的解的圖形稱為微分方程的積分曲線 .通解的圖形是一族積分曲線，稱為微分方程的積分曲線族 .微分方程的某個特解的圖形就是積分曲線族中滿足給定初值條件的某一特定的積分曲線 . 221 2 1 200e e ( ) 4 0 ( ) 0 , 1 ( xxxxy C C C Cy yy y 39。 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計算機 (1)班 III 目 錄 第一章 前 言 .................................................. 1 案例引入微分方程概念 .................................... 1 微分方程的基本概念 ...................................... 1 微分方程及微分方程的階 ............................. 1 微分方程的解、通解與特解 ............................ 1 微分方程的初值條件及其提法 .......................... 2 微分方程的解的幾何意義 .............................. 2 從解析方法到數(shù)值方法概述 ................................. 3 常溫分方程的離散化 ...................................... 4 第二章 數(shù)值解法公共程序模塊分析 ................................. 5 第三章 歐拉（ Euler）方法 ....................................... 7 Euler 方法思想 .......................................... 7 Euler 方法的誤差估計 .................................... 8 改進的 Euler 方法 ........................................ 8 梯形公式 .......................................... 8 改進 Euler 法 ....................................... 9 第四章 休恩方法 .............................................. 10 休恩方法思想 .......................................... 10 休恩方法的步長和誤差 ................................... 10 第五章 泰勒級數(shù)法 ............................................ 11 泰勒定理 .............................................. 11 N 次泰勒方法 ........................................... 12 第六章 龍格 庫塔（ Runge— Kutta 法） ............................ 13 龍格 庫塔（ Runge— Kutta）方法基本思想 .................... 13 階龍格 庫塔（ Runge— Kutta）方法公式 ..................... 14 第七章 預(yù)報 校正方法 .......................................... 15 MilneSimpon 方法 ................