【正文】 ized, which intuitively embodies the thought of solving highorder differential equations of mathematical software of transforming higher order differential equations to differential equations. Keywords:Linear highorder ordinary differential,Linear differential equations,MATLAB I 目錄 中文 摘要 ............................................ I 英文摘要 ........................................... II .............................................. 1 常微分方程的背景和發(fā)展現(xiàn)狀 .................................. 1 本文主要解決的問題及所用方法 ................................ 2 課題成果及意義 .............................................. 2 ............................ 3 高階齊次線性微分方程 ........................................ 6 特征根是單根 ............................................ 7 特征根是重根 ............................................ 8 高階非齊次線性微分方程 ...................................... 9 常數(shù)變易法 ............................................. 10 比較系數(shù)法 ............................................. 12 拉普拉斯變換法 ......................................... 13 幾種可降階的微分方程的解法 ................................. 16 ........................................................ 20 齊次線性微分方程組的解的相關(guān)定理 ............................ 23 非齊次線性微分方程組的解的相關(guān)定理 .......................... 25 ....... 30 高階線性微分方程與線性微分方程組 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ........................... 30 實(shí)例分析 ....................................................................................................... 34 MATLAB 中高階微分方程到微分方程組的轉(zhuǎn)化及求解 .............................. 37 解微分方程的 MATLAB 命令 ................................................................ 38 MATLAB 求解實(shí)例 ................................................................................. 38 給出一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題通過 MATLAB 求解 ......................................................... 41 II 總結(jié) ....................................................................................................... 45 參考文獻(xiàn) ............................................................................................... 46 致謝 ....................................................................................................... 47 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）知識(shí)產(chǎn)權(quán)聲明 ........................................................ 48 畢業(yè)設(shè)計(jì) （ 論文） 獨(dú)創(chuàng)性聲明 ............................................................ 49 附錄 A 外文翻譯原文 ........................................................................... 50 附錄 B 外文翻譯譯文 ........................................................................... 57 1 緒論 1 常微分方程的背景和發(fā)展現(xiàn)狀 數(shù)學(xué)分析（微積分）中研究了變量的各種函數(shù)及函數(shù)的微分與積分。加上柯西初值問題的提出，常微分方程從“求通解”轉(zhuǎn)向“求定解”時(shí)代。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來(lái)越多的應(yīng)用于社會(huì)科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它現(xiàn)有的理論也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需求，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，從而使這門學(xué)科的理論更加完善。 MATLAB 符號(hào)工具箱提供了一個(gè)線性常系數(shù)微分方程的函數(shù) dsolve，這個(gè)函數(shù)允許用字符串的形式描述微分方程及初值、邊值條件，最終得出微分方程的解析解。 把不包含任意常數(shù)的方程的解 ()yx?? ，稱為方程（ ）的特解。 性質(zhì) 2 方程（ ）的任意兩個(gè)解之差必為方程（ ）的解 . 這里，給出相關(guān)例題，以對(duì)相關(guān)概念加深理解 . 例 1 設(shè) ()xt 和 ()yt 是區(qū)間 a t b?? 上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果區(qū)間在 a t b?? 上有()()xtyt? 常數(shù)或 ()()ytxt? 常數(shù)，則和在區(qū)間 a t b?? 上線性無(wú)關(guān) . 證明 反證法 .假設(shè) ()xt 和 ()yt 在區(qū)間 [,]ab 上線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù) 1C 和 2C 使得 12( ) ( ) 0 , [ , ]C x t C y t t a b? ? ? 若 2 0C? ，則 12()()y t Cx t C?? ?常數(shù) 若 1 0C? ，則 21()()x t Cy t C?? ?常數(shù) 在這兩種情況下，都和已知條件 ()()xtyt? 常數(shù)或者 ()()ytxt? 常數(shù)矛盾，所以假設(shè)不成 立，即證明了 ()xt 和 ()yt 在區(qū)間 [,]ab 上是線性無(wú)關(guān)的 . 分析：在本題中使用了反證法求解該問題，在對(duì)定理 2 進(jìn)行相關(guān)正向陳述，從而引出了與已知條件的矛盾點(diǎn)，進(jìn)而得證問題，該題考察了對(duì)函數(shù)線性相關(guān)定理 . 例 2 證明非齊次線性微分方程的疊加原理：設(shè) 12( ), ( )x t x t 分別是非齊次線性微分方程 11 1 1111 1 21d d d( ) ( ) ( ) ( ),d d dd d d( ) ( ) ( ) ( ).d d dnnnnnnnnx x xa t a t a t x f tt t tx x xa t a t a t x f tt t t??????? ? ? ?? ? ? ? 的解，則 12( ) ( )x t x t? 是方程 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 11 1 1 21d d d( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d dnnnnx x xa t a t a t x f t f tt t t???? ? ? ? ? 的解 . 證明 由于 12( ), ( )x t x t 分別是非齊次線性微分方程 11 1 1111 1 21d d d( ) ( ) ( ) ( ),d d dd d d( ) ( ) ( ) ( ).d d dnnnnnnnnx x xa t a t a t x f tt t tx x xa t a t a t x f tt t t??????? ? ? ?? ? ? ? 的解，所以滿足 11 1 11 1 1 1112 2 21 1 2 21d ( ) d ( ) d ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ),d d dd ( ) d ( ) d ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ).d d dnnnnnnnnnnnnx t x t x ta t a t a t x t f tt t tx t x t x ta t a t a t x t f tt t t??????? ? ? ?? ? ? ? 把以上的兩個(gè)式子相加，并且利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則有 11 2 1 21 1121 1 2 1 2d ( ( ) ( )) d ( ( ) ( ))()ddd ( ( ) ( ))( ) ( )( ( ) ( )) ( ) ( ).dnnnnnnx t x t x t x tatttx t x ta t a t x t x t f t f tt???????? ? ? ? ? 這就是 12( ) ( )x t x t? 說(shuō)是方程 11 1 1 21d d d( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d dnnnnx x xa t a t a t x f t f tt t t???? ? ? ? ? 的解 . 分析：本題對(duì)常微分方程的解的疊加原理做了進(jìn)一步的闡述 .常微分常微分方程的疊加原理均適用于齊次和非齊次微分方程 . 高階齊次線性微分方程 設(shè)齊次線性微分方程中所有的系數(shù)都是常 數(shù)，那么方程具有如下形式 ? ? 1111d d dL0d d dnn nnnnx x xx a a a xt t t? ??? ? ? ? ? ? （ ） 其中 naaa , 21 ? 為常數(shù) .稱（ ）為階常系數(shù)齊次線性微分方程。 定理 1 特征方程有重根，則如所周知 ( 1 ) ( )1 1 1 1( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 0 .kkF F F F? ? ? ???? ? ? ? 情況 1 1 0?? ，即特征方程有因子，于是 11 0n n n ka a a? ? ?? ? ? ? 也就是特征方程的形狀為 11 =0n n knkaa? ? ?? ?? ? ? 對(duì)應(yīng)的方程（ ）變?yōu)? 11 1d d d+ + + = 0d d dn n knkn n kx x xaat t t??? 易得它有 k 個(gè)解 211, , , , kt t t ? ，而且它們是線性無(wú)關(guān)的。 常數(shù)變易法實(shí)際上也是一種變量變換的方法，這里簡(jiǎn)單介紹一下該方法在高階微分方程中的應(yīng)用。為了應(yīng)用上面的結(jié)論，我們將方程改寫為 1x x tt?? ??? 并以 212( ) ( )x c t c t t?? 代入，可得決定 1()ct? 和 2()ct? 的兩個(gè)方程 12( ) ( ) 0,c t c t????和 22 ( )tc t t? ? 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 于是 32 2 1 111( ) , ( )26c t t c t t??? ? ? ? ? 故得原方程的通解為 2312 13x t t??? ? ? 這里 1? 和 2? 是任意常數(shù)。 幾種可降階的微分方程的解法 類型 1 方程不顯含未知函數(shù) x ，或者更一般的，設(shè)方程不含 x ，即方程呈如下形式 ( ) ( 1 ) ( )( , , , , 0 , ( 1 )k k nF t x x x k n? ? ? ? （ ） 令 ()kxy? ，則方程即降為關(guān)于 y 的 nk? 階方程 ()( , , , , )nkF t y y y ?? （ ） 若能求得方程（ ）的通解 12( , , , )nky t c c c? ?? 即 () 12( , , , )k nkx t c c c? ?? 再經(jīng)過 k 次積分得到 12( , , , )nx t c c c?? 其