【正文】 n n n n n n nhN N f t N f t N f t N f t NhN N f t N f t N f t N f t Nn? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ?? ??????? 求得，且在它的精度要求達(dá)到很高情形下求出 2()Nt。不考慮人體其他機(jī)體對酒精的吸收，體液的變化可以忽略而保持一定。 設(shè) K為潛在的用戶總數(shù)， 1K K和置 2K 分別為其中的“創(chuàng)新型”和“模仿型”人數(shù)，又設(shè) ()Nt 為時(shí)刻 t 已購買商品的顧客數(shù)，而 1()Nt和 2()Nt分別表示其中的“創(chuàng)新型 ” 和“模仿型 ” 顧客數(shù)，設(shè) 1()At 為時(shí)刻 t 中已經(jīng)獲得“搜集型 ” 信息的常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 20 人數(shù)，那么由于這部分信息可以直接從外部獲得，也可以已經(jīng)獲得這種信息的人群中獲得，于是有類似于巴斯模型的建立有 ? ? ? ?1 1 1 1 2 1 1 2() ( ) ( ) , ( 0 ) 0 , , 0 , ( 9 . 1 )d A t K A t A t Adt ? ? ? ?? ? ? ? ? 由于獲得了“搜集型”信息的“創(chuàng)新型”顧客立即決定是否購買，于是應(yīng)有 ? ? ? ?1 1 1 1 1() ( ) ( ) , ( 0 ) 0 , , 0 , ( 9 . 2 )d N t K N t N t Nd ? ? ? ?? ? ? ? ? 對“模仿型”顧客，可以從已購買該商品的“創(chuàng)新型”或“模仿型”顧客中得到信息，因此有 ? ? ? ?2 2 2 1 2() ( ) ( ) ( ) , 0 , ( 9 . 3 )d N t K N t N t N tdt ??? ? ? ? 這里，忽略了顧客購買該商品后需要有一段短暫的試用才會(huì)傳播體驗(yàn)信息的滯后作用。如果使用步長控制，則 MilneSimpon 方法應(yīng)該使用如下的誤差估計(jì)： () 29kkkk pyy t y ??? （ ） 這是一類不動(dòng)點(diǎn)迭代過程。 第七章 預(yù)報(bào) 校正方法 歐拉方法、休恩方法、泰勒方法以及龍格 — 庫塔方法都稱為單步方法，因?yàn)樗麄冎焕们耙粋€(gè)點(diǎn)的信息計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)，即計(jì)算 11( , )ty 時(shí)只使用了初始點(diǎn)00( , )ty 。 N 次泰勒方法的精度：設(shè) ()yt 為初值問題的解 ,如果 3 0( ) [ , ]y t C t b? ，并且0{( , )}Mk k kty? 是休恩方法產(chǎn)生的一個(gè)近似值序列，則 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 13 ( ) ( )Nk k ke y t y O h? ? ? 111( ) ( , ) ( )Nk k k k ky t y hf t y O h? ???? ? ? ? （ ） 特別得，區(qū)間重點(diǎn)處的最終全局誤差滿足， ( ( ) , ) ( ) ( )NME y b h y b y O h? ? ? （ ） 這就是說，步長如果減小為原來的 1k，則可期望最終全局誤差將降至大約 1Nk，k 為整數(shù)。但這樣做計(jì)算量最大。in? 數(shù)組 CY ,E 用于存放離散 點(diǎn)處的精確解的值 ()iyx 和 iy 的整體誤差ii|y y ( x ) | , i = 0 ,1 ,2 , . .. n。 i++) printf(=)。 第二章 數(shù)值解法公共程序模塊分析 編程選擇 : 由于并不需要采用 STL 等泛型程序設(shè)計(jì)的方法，采用 C++并不會(huì)比采用 C 減少太多代碼，況且這里的實(shí)際代碼比較簡單，所以為了減少系統(tǒng)的開銷，采用 Tubro C 來實(shí)驗(yàn) 。xy39。 prediction correction。先從常微分方程解析解法出發(fā)，分析解析解法在實(shí)際運(yùn)用中的局限性，引入常微分方程的數(shù)值解法，呈現(xiàn)常微分方程數(shù)值求解的三個(gè)步驟：將問題離散化，建立或?qū)ふ乙粋€(gè)遞推格式，按步進(jìn)方式計(jì)算。 微分方程的基本概念 微分方程及微分方程的階 含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (或微分 )的方程稱為微分方程； 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程 ； 未知函數(shù)是多元函數(shù)的 微分方程，稱為偏微分方 ； 2d 3 d ( )y x x? ， 2 2d ( )d s gt ? ()和 ()式均是微分方程 . 微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階 . 微分方程 ()是一階的，微分方程 ()是二階的 . 微分方程的解、通解與特解 能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解 . 例如 3y x c??和 3y x 1??都是 3dy 3xdx? 的解 . 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 2 又如 21 212 CtCgts ???和 212s gt?都是 22dds gt ?的解 . 如果微分方程的解中含任意常數(shù) ,且獨(dú)立的 (即不可合并而使個(gè)數(shù)減少的 )任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解 . 不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解 . 微分方程的初值條件及其提法 用以確定微分方程解中任意常數(shù)的特定條件，稱為微分方程的初值條件 . 初值條件的提法 ： 當(dāng) x=x0 時(shí)， y=y0， 微分方程的解的幾何意義 . 微分方程的解的圖形稱為微分方程的積分曲線 .通解的圖形是一族積分曲線，稱為微分方程的積分曲線族 .微分方程的某個(gè)特解的圖形就是積分曲線族中滿足給定初值條件的某一特定的積分曲線 . 221 2 1 200e e ( ) 4 0 ( ) 0 , 1 ( xxxxy C C C Cy yy y 39。 建立數(shù)值解法，首先要將微分方程離散化，一般采用以下幾種方法： （ i）用差商近似導(dǎo)數(shù) 若用向前差商 1( ) ( )nny x y xh? ? 代替 ()nyx? 代入（ ）中的微分方程，則得 1( ) ( ) ( , ( ) ) ( 0 , 1 , )nnnny x y x f x y x nh? ? ?? 化簡得 1( ) ( ) ( , ( ) )n n n ny x y x h f x y x? ?? 如果用 ()nyx 的近似值 ny 代入上式右端，所得結(jié)果作為 1()nyx? 的近似值，記為1ny? ， 則有 1 ( , ) ( 0 , 1 , ) ( )n n n ny y hf x y n? ? ? ? 這樣，問題（ ）的近似值可通過求解下述問題 10( , ) ( 0 , 1 , ) ( 1 . 7 )()n n n ny y h f x y ny y a? ? ? ??? ?? 得到，按式（ ）由初值 0y 可逐次算出 12,yy 。 i++) { CY[i] = exact_value( X[i] )。 printf(%%%%%,X[i],F[i], Y[i],CY[i],E[i])。顯然 p 越大，方法的精度越高。 第五 章 泰勒級數(shù)法 泰勒級數(shù)法有著廣泛的應(yīng)用 ， 并且是比較求解初值問題的各種不同數(shù)值方法的標(biāo)準(zhǔn) ， 它可設(shè)計(jì)為具有任意指定的精度 。為此我們分析局部截?cái)嗾`差 11()nny x y??? ，因?yàn)?()nny y x? ，所以（ ）可以化為 1 1 1 2 212121( ) ( )( , ( ) ) ( )( , ( ) ) ( 6 .3 )( , ( ) ) ( , ( ) )( , ( ) ) ( )nnn n nnnn n x n ny n ny y x h k kk f x y x y xk f x h y x h kf x y x h f x y xh k f x y x o h???????? ? ? ??????? ? ? ??? ???? ??? 其中 2k 在點(diǎn) ? ?, ( )nnx y x 作了 Taylor展開。此時(shí)值 1kp? 已知，基于點(diǎn) 11( , )kktf??， ( , )kktf 和新點(diǎn)1 1 1 1 1( , ) ( , ( , ) )k k k k kt f t f t p? ? ? ? ?? 構(gòu)造 ( , ( ))f t yt 的新點(diǎn)的拉格朗日多項(xiàng)式，然后在區(qū)間11[ , ]kktt??上對該多項(xiàng)式積分，結(jié)果得 Simpon 公式： 1 1 1 1( 4 )3k k k k khy y f f f? ? ? ?? ? ? ? （ ） 誤差估計(jì)于校正 計(jì)算預(yù)估子和校正子的數(shù)值積分公式的誤差項(xiàng)都是 5()Oh 的，公式（ ）和（ ）的局部截?cái)嗾`差為 ( 5 ) 51 1 128( ) ( )90k k ky t p y c h? ? ??? （預(yù)估子的截?cái)嗾`差） （ ） ( 5 ) 51 1 11( ) ( )90k k ky t y y d h? ? ???? （校正子的截?cái)嗾`差） （ 7,5） 設(shè) h 足夠小，使得 (5)()yt在區(qū)間 31[ , ]kktt??上近乎為常數(shù)，則可消去式（ ）和式（ ）中的 5 階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，結(jié)果為 1 1 1 128( ) ( )90k k k ky t p y p? ? ? ?? ? ? （ ） 公式 （ ）給出的預(yù)估子誤差聚集基于兩個(gè)計(jì)算值 1kp? 和 1ky? ，而沒有使用高階導(dǎo)數(shù) (5)()yt，可用它來改進(jìn)預(yù)估值。理論上的分析表明，求解剛性問題所選用的數(shù)值方法最好是對步長 h 不作任何限制。 3．怎樣估計(jì)血液中 的酒精含量在什么時(shí)間最高。 參考數(shù)據(jù) 65％至 70％，其中血液只占體重的 7％左右：而藥物 (包括酒精 )在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。據(jù)此在時(shí)間一銷售坐標(biāo)系給出的曲線稱為產(chǎn)品的生命曲線，其形狀呈鐘型。 正確的步長 用預(yù)估 — 校正方法在 大區(qū)間上求解初值問題 00( , ), ( )y f t y y t y? ??時(shí)，有時(shí)也出現(xiàn)問題。由于（ ）式有 4 個(gè)未知數(shù)而只有 3 個(gè)方程，所以解不唯一。求導(dǎo)公式可以遞歸得計(jì)算： ()y t f? ? t y t yy f f y f f f?? ?? ? ? ? 22 ( )tt ty y y yy f f y f y f y??? ? ?? ?? ? ? ? 22 ( )tt ty y y y tf f f f f f f f f? ? ? ? ? ( 4 ) 23 3 ( ) 3tt t tt y ty y tyy f f y f y f y? ? ??? ? ? ? 33 ( )y yy yyyf y f y y f y??? ? ?? ?? ? ? 2 3 2( 3 3 ) ( 2 )tt t tt y ty y y y y y tt ty yf f f f f f f f f f f f f? ? ? ? ? ? ? 23 ( ) ( ) ( )t y ty y y y t yf f f f f f f f f f? ? ? ? ? () 并且一般有， ( ) ( 1 )( ) ( , ( ) )NNy t P f t y t?? （ ） 其中 P 為導(dǎo)數(shù)算子 ()Pfty???? 區(qū)間 0[ , ]Ntt 上的初值 ( ) ( , )y t f t y? ? 的近似數(shù)值解可由各子區(qū)間 1[ , ]kktt? 上的公式（ ）來推導(dǎo)。 改進(jìn)的 Euler 方法 梯形公式 利用數(shù)值積分方法將微分方程離散化時(shí)，若用梯形公式計(jì)算式 ()中之右端積分，即 ? ?111( , ( ) ) ( , ( ) ) ( , ( ) )2nnx n n n nx hf x y x d x f x y x f x y x? ????? 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 9 這就是求解初值問題（ ）的梯形公式。 for(i=0。 }