【正文】 符號說明： 0f ：酒精進(jìn)入胃腔的速率， 設(shè)為常數(shù) t ：測試時(shí)間 (小時(shí) ) 0t ：飲酒時(shí)間 (小時(shí) ) 1()xt： t 時(shí)刻人體胃腔中的酒精含量 (毫克／百毫。 循環(huán)過程只考慮由體外進(jìn)入胃腔，再由胃腔進(jìn)入體液，最后由體液排除體外。 酒精在人體內(nèi)的循環(huán)系統(tǒng)分為胃腔系統(tǒng) (系統(tǒng) I)和體液系統(tǒng) (系統(tǒng) II)，兩個(gè)系統(tǒng)的容積 (即血液體積或酒精分布容積 )在過程中保持不變。 參考數(shù)據(jù) 65％至 70％，其中血液只占體重的 7％左右：而藥物 (包括酒精 )在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。 3．怎樣估計(jì)血液中 的酒精含量在什么時(shí)間最高。 問題的提出 《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閩值與檢驗(yàn)》國家新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于 20毫克／百毫升，小于 80毫克／百毫升為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于 80毫克／百毫升為醉酒駕車。利用上述公式給出的數(shù)值常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 21 算法 ， 通過數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)。 其中 1()Nt， ? 表示外部信息使“創(chuàng)新型”顧客購買新產(chǎn)品的比率；112 K?表示口傳信息使“創(chuàng)新型”顧客購買新產(chǎn)品的比率； 12K? 表示口傳信息使“模仿型’’顧客購買新產(chǎn)品的比率。綜上，斯蒂芬斯一莫賽模型是一常微分方程組的初值問題模型： ? ? ? ?? ? ? ?? ?11 1 122 2 1 212() ( ) ( ) ,() ( ) ( ) ( ) , ( )( 0) 0 , 0 0dN t K N t N tdtdN t K N t N t N tdtNN???? ? ? ???? ? ? ???? ???? 兩 12( ) ( ) ( )N t N t N t??為時(shí)刻 t 購買該商品的總?cè)藬?shù)。 模型的構(gòu)建 將消費(fèi)者獲得的信息分為兩類，一類稱為“搜集型 ” 的，來自廣告、產(chǎn)品說明、樣品，“創(chuàng)新型”的顧客在獲得此類信息就可以做出是否購買的決定：另一類信息稱為“體驗(yàn)型”的，即用戶使用后獲得的實(shí)際體驗(yàn)，經(jīng)常以口頭形式傳播，“模仿型 顧客在獲得此類信息后方能 決定購買與否。 如何解釋這一似乎與傳統(tǒng)的產(chǎn)品生命曲線理論相矛盾的現(xiàn)象昵 ?澳大利亞的斯蒂芬斯和莫賽觀察到購買耐用消費(fèi)品的人大致可以分為兩類：一類是十分善于接受新事物的，稱為“創(chuàng)新型”顧客，他們往往從產(chǎn)品的廣告，制造商提供的產(chǎn)品說 明書和商店的樣品了解了產(chǎn)品的功能和性能后立即決定是否購買；另一類顧客則相對比較保守，稱為“模仿型 顧客，他們要根據(jù)若干已購買該商品的用戶的實(shí)際使用經(jīng)驗(yàn)所提供的口頭信息來決定是否購買。據(jù)此在時(shí)間一銷售坐標(biāo)系給出的曲線稱為產(chǎn)品的生命曲線，其形狀呈鐘型。理論上的分析表明，求解剛性問題所選用的數(shù)值方法最好是對步長 h 不作任何限制。若矩陣 A的特征值 ( 1, 2, , )i im? ? 滿足關(guān)系 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 19 11R e 0 ( 1, 2 , , )m a x R e m in R ei iiimimim??????????? 則稱方程組（ ）為剛性方程組或 Stiff方程組，稱數(shù) 11m a x Re / m in Reiiimims ??????? 為剛性比。 最后需要指出的是，在化學(xué)工程及自動控制等領(lǐng)域中，所涉及的常微分方程組初值問題常常是所謂的“剛性”問題。 高階微分方程的數(shù)值解法 高階微分方程的初值問題可以通過變量代換化為一階微分方程組初值問題?？梢宰C明，其的步長 h 應(yīng)該滿足以下條件 ( , )yh f t y? （ ） 第八章 一階微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法 一階微分方程組的數(shù)值解法 設(shè)有一階微分方程組的初值問題 12( , , , , ) ( 1 , 2 , )()i i mi ioy f x y y y imy a y? ?? ?? ?? （ ） 若記 12( , , , )Tmy y y y? ， 0 10 20 0( , , , )Tmy y y y? ， 12( , , , )Tmf f f f? ，則初值問題（ ）可寫成如下向量形式 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 18 0( , ) ( 8 . 2 )()y f x yy a y? ??? ?? 如果向量函數(shù) ( , )f xy 在區(qū)域 D ： , ma x b y R? ? ? 連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足 Lipschitz條件，即存在 L0，使得對 ? ?,x ab?? ，12, my y R? ，都有 1 2 1 2( , ) ( , )f x y f x y L y y? ? ? 那么問題（ ）在 ? ?,ab 上存在唯一解 ()y yx? 。采用較小的步長可使振幅減小。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)小誤差遞減傳播時(shí)，結(jié)果穩(wěn)定；當(dāng)小誤差遞增傳播時(shí)候結(jié)果不穩(wěn)定。 正確的步長 用預(yù)估 — 校正方法在 大區(qū)間上求解初值問題 00( , ), ( )y f t y y t y? ??時(shí)，有時(shí)也出現(xiàn)問題。此時(shí)值 1kp? 已知，基于點(diǎn) 11( , )kktf??， ( , )kktf 和新點(diǎn)1 1 1 1 1( , ) ( , ( , ) )k k k k kt f t f t p? ? ? ? ?? 構(gòu)造 ( , ( ))f t yt 的新點(diǎn)的拉格朗日多項(xiàng)式，然后在區(qū)間11[ , ]kktt??上對該多項(xiàng)式積分，結(jié)果得 Simpon 公式： 1 1 1 1( 4 )3k k k k khy y f f f? ? ? ?? ? ? ? （ ） 誤差估計(jì)于校正 計(jì)算預(yù)估子和校正子的數(shù)值積分公式的誤差項(xiàng)都是 5()Oh 的，公式（ ）和（ ）的局部截?cái)嗾`差為 ( 5 ) 51 1 128( ) ( )90k k ky t p y c h? ? ??? （預(yù)估子的截?cái)嗾`差） （ ） ( 5 ) 51 1 11( ) ( )90k k ky t y y d h? ? ???? （校正子的截?cái)嗾`差） （ 7,5） 設(shè) h 足夠小，使得 (5)()yt在區(qū)間 31[ , ]kktt??上近乎為常數(shù)，則可消去式（ ）和式（ ）中的 5 階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，結(jié)果為 1 1 1 128( ) ( )90k k k ky t p y p? ? ? ?? ? ? （ ） 公式 （ ）給出的預(yù)估子誤差聚集基于兩個(gè)計(jì)算值 1kp? 和 1ky? ，而沒有使用高階導(dǎo)數(shù) (5)()yt，可用它來改進(jìn)預(yù)估值。下面，我們向大家介紹 MilneSimpon 方法。使用預(yù)估子和校正子的組合在每一步只與要進(jìn)行兩次函數(shù) (, )f t y 求值。 多步 法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是，可以確定它的局部截?cái)嗾`差，并可以包含一個(gè)校正項(xiàng)， 用于在 每 一步計(jì)算中改變解的精確度。一般地，只有 ky 用來計(jì)算 1ky? 。取既滿足這些方程、又較簡單的一組 ,i i i?? ? 可得 1 1 2 3 41122343( 2 2 )6( , )( , ) ( )22( , )22( , )nnnnnnnnnhy k k k kk f x yhkhk f x yhkhk f x yk f x h y hk??? ? ? ???????? ? ????? ? ???? ? ??? 這就是常用的 4 階龍格 — 庫塔方法（簡稱 RK 方法）。可以證明，在 ? ?1,nnxx? 內(nèi)只取 2 點(diǎn)的龍格 — 庫塔公式精度最高為 2階。由于（ ）式有 4 個(gè)未知數(shù)而只有 3 個(gè)方程，所以解不唯一。為此我們分析局部截?cái)嗾`差 11()nny x y??? ，因?yàn)?()nny y x? ，所以（ ）可以化為 1 1 1 2 212121( ) ( )( , ( ) ) ( )( , ( ) ) ( 6 .3 )( , ( ) ) ( , ( ) )( , ( ) ) ( )nnn n nnnn n x n ny n ny y x h k kk f x y x y xk f x h y x h kf x y x h f x y xh k f x y x o h???????? ? ? ??????? ? ? ??? ???? ??? 其中 2k 在點(diǎn) ? ?, ( )nnx y x 作了 Taylor展開。這就是龍格 — 庫塔方法的基本思想。改進(jìn)的 Euler 公式可理解為 K 取 ( , )nnf x y ， 11( , )nnf x y??的平均值，其中 1 ( , )n n n ny y hf x y? ?? ，這種處理提高了精度。可是給出一種斜率 K ,()式就對應(yīng)地導(dǎo)出一種算法。 第六 章 龍格 庫塔（ Runge— Kutta 法） 龍格 庫塔（ Runge— Kutta）方法基本思想 回到 Euler 方法的基本思想 — 用差商代替導(dǎo)數(shù) — 上來。然而在實(shí)際運(yùn)算中，通常用 h 和 2h 計(jì)算兩個(gè)近似結(jié)果集，然后比較其結(jié)果。 N 次泰勒方法的最終全局誤差是 1()NOh? 階的，因此可選擇所需大小的 N ，使得誤差足夠小。求導(dǎo)公式可以遞歸得計(jì)算： ()y t f? ? t y t yy f f y f f f?? ?? ? ? ? 22 ( )tt ty y y yy f f y f y f y??? ? ?? ?? ? ? ? 22 ( )tt ty y y y tf f f f f f f f f? ? ? ? ? ( 4 ) 23 3 ( ) 3tt t tt y ty y tyy f f y f y f y? ? ??? ? ? ? 33 ( )y yy yyyf y f y y f y??? ? ?? ?? ? ? 2 3 2( 3 3 ) ( 2 )tt t tt y ty y y y y y tt ty yf f f f f f f f f f f f f? ? ? ? ? ? ? 23 ( ) ( ) ( )t y ty y y y t yf f f f f f f f f f? ? ? ? ? () 并且一般有， ( ) ( 1 )( ) ( , ( ) )NNy t P f t y t?? （ ） 其中 P 為導(dǎo)數(shù)算子 ()Pfty???? 區(qū)間 0[ , ]Ntt 上的初值 ( ) ( , )y t f t y? ? 的近似數(shù)值解可由各子區(qū)間 1[ , ]kktt? 上的公式（ ）來推導(dǎo)。 第五 章 泰勒級數(shù)法 泰勒級數(shù)法有著廣泛的應(yīng)用 ， 并且是比較求解初值問題的各種不同數(shù)值方法的標(biāo)準(zhǔn) ， 它可設(shè)計(jì)為具有任意指定的精度 。要繼續(xù)求解，需要 1()yt 的一個(gè)估計(jì)值，歐拉方法的解能夠滿足這一目的，將它代入（ ）后，得到求解 11( , )ty 的公式，稱為休恩（ Heun）方法： 1 0 0 0 1 0 0 0( ) ( ) ( ( , ( ) ) ( , ( , ) ) )2hy t y t f t y t f t y h f t y? ? ? ? （ ） 重復(fù)這個(gè)過程，得到逼近解曲線 ()y yt? 的一系列點(diǎn)，在每一步中都用歐拉方法作為預(yù)報(bào)，然 后用梯形公式進(jìn)行校正，得到最終的值。該方法引入一種新的思路，來構(gòu)造求解 [, ]ab 上的初值問題 ( , ( ))y f t y t?? ， 00()yt y? （ ） 要得到解 11[ , ]ty ，可以用微積分基本定理，在 01[ , ]tt 上對 ()yt? 積分得 1100 10( , ( ) ) ( ) ( ) ( )ttf t y t d t y t d t y t y t?? ? ??? （ ） 其中 ()yt? 的不定積分為待定求函數(shù) ()yt 。 為便于編制程序上機(jī)，式（ ）常改寫成 1( , )( , ) ( )1 ()2p n n nq n n pn p