常微分方程第2章習(xí)題答案(存儲(chǔ)版)
【正文】 ( yxddyyxQdxyxP ??? ?? ， 則 ),( yxPx ?? ??? ， dyyxQy ),(?? ???. 要判斷是否為積分因子，只需驗(yàn)證下列等式成立： ??????? ygyxPyxgy yxP ???? ),()),(()),(( xgyxQyxgx yxQ ?????? ???? ),()),(()),(( , 顯然 ??? y yxP )),((? x yxQ?? )),((?, 且 ???? ygyxP ?? ),( xgyxQ ??? ?? ),(， 所以 )(1 ??? g? 是()的積分因 子． （逆定理）由定理?xiàng)l件假定 ? 也是 ()的積分因子且使得 ),(),(),( yxddyyxQdxyxP ??? ?? . 設(shè) 1? 是微分方程 )( 的另一個(gè)積分因子 ,且設(shè) ),(1 yxf?? ? ),(),(),(),(),( yxddyyxQyxfdxyxPyxf ??? ??, 則 ??? y yxP )),((? x yxQ?? )),((?, 即?????? y yxPyxfyxPyf )),((),(),( ??y yxQyxfyxQyf ????? )),((),(),( ??, 所以dydxfdxdyf ?? ?????, 則 )),(( yxgf ?? ． ５．設(shè)函數(shù) ),(),(),(),(21 yxyxyxQyxP ??都是連續(xù)可微的，而且21,??是微分方程 () 的兩個(gè)積分因子 , ?),( ),(21 yx yx??常數(shù)。習(xí) 題 ２ 4 １． 求解下列微分方程： （１）yx xyy ???? 22； 解：令 uxy? ，則原方程化為 uuudxdux ???? 2 12 ， 即 xdxduu u ??? 122， 積 分 得 ：cxuuu ?????? ln1ln2111ln 2 還原變量并化簡(jiǎn)得： 3)()( yxcxy ??? （２）42 52 ?? ???? yx xyy； 解：由??? ??? ??? 042 052 yx xy 得 ??? ??? 21yx 令 2,1 ???? yvxu ， 則有 vuuvdudv ??? 22 ，由第一題的結(jié)果知此方程解為3)()( vucuv ??? ， 還原變量并化簡(jiǎn)得： .)1(3 3????? yxcxy （３）142 12 ?? ???? yx yxy； 解：令 yxv 2?? ， 則 12 12121 ?????? vvdxdydxdv ， 即 12 14 ??? vvdxdv ，此方程為變量分 離方程， 分離變量并積分得： cxvv ???? 14ln8321 ， 還原變量并化簡(jiǎn)得： cyxxy ????? 184ln348 ． （４） xyyxy ??? 33 ． 解： ①當(dāng) 0?y 時(shí)， 方程兩邊同時(shí)乘以 32??y , 則 233 222 ?? ????? xyxyy ， 令 2??yz ， 則 322 xxzdxdz ?? , 此方程為一階線性方程，由公式 得： 122 ??? xcez x 還原變量得： 122 )1( 2 ???? xcey x . ② 0?y 也是方程的解． 2. 利用適當(dāng)?shù)淖儞Q，求解下列方程： （１） )cos( yxy ??? ； 解：令 yxu ?? ，則 udxdydxdu c os11 ???? ， ①當(dāng) 1cos ?u 時(shí)，有 dxudu ??cos1 ， 即 dxudu ?2sin2 2， 兩邊積分得： cxuctg ??221 還原變量化簡(jiǎn)得： 2s i n2s i n22c os yxcyxxyx ????? ． ②當(dāng) 1cos ?u 時(shí)，即 ?kxy 2?? )( Zk? 也是方程的解． （２） 0)()3( 22 ???? dvuvuduvuv ； 解：方程兩邊同時(shí)乘以 u 則原方程化為： 0)()3( 2322 ???? dvvuuduuvvu ， 即 0)()3( 2232 ???? v d vuduuvdvuv d u
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