常微分方程(第三版)課后答案(存儲(chǔ)版)
【正文】 滿足的解為 故 4．解：這是在（1，0）某領(lǐng)域內(nèi)滿足解對(duì)初值可微性定理?xiàng)l件，由公式易見是原方程滿足初始條件的解 故習(xí)題 (一)、解下列方程，并求奇解（如果存在的話）：解：令，則，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 從得 時(shí)，；從得 ， 為參數(shù)，為任意常數(shù).經(jīng)檢驗(yàn)得 ，是方程奇解.解：令，則，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 ，解之得 ，所以，且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.解：這是克萊洛方程，因此它的通解為，從 中消去c,得到奇解.解：這是克萊洛方程，因此它的通解為 ，從 中消去c,得到奇解 .解：令，則，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 ，解之得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.解：原方程可化為，這是克萊羅方程，因此其通解為，從 中消去c，得奇解.解：令，則，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 ，所以 ，可知此方程沒有奇解.解：可知此方程沒有奇解.解：令，則，兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得 解之得 ，所以 ，且 也是方程的解，但不是方程的奇解.解：這是克萊羅方程，因此方程的通解為，從中消去c,得方程的奇解.（二）求下列曲線族的包絡(luò).解:對(duì)c求導(dǎo)，得 x+2c=0, , 代入原方程得， 經(jīng)檢驗(yàn)得，是原方程的包絡(luò).解：對(duì)c求導(dǎo)，得 ，代入原方程得 ，即，經(jīng)檢驗(yàn)得是原方程的包絡(luò).解：對(duì)c求導(dǎo)，得 –2(xc)2(yc)=0, ,代入原方程得.經(jīng)檢驗(yàn),得 是原方程的包絡(luò).解：對(duì)c求導(dǎo)，得 2(xc)=4, c=x+2,代入原方程得 ，,經(jīng)檢驗(yàn)，得是原方程的包絡(luò).(三) 求一曲線，使它上面的每一點(diǎn)的切線截割坐標(biāo)軸使兩截距之和等于常數(shù)c.解：設(shè)所求曲線方程為y=y(x),以X、Y表坐標(biāo)系，則曲線上任一點(diǎn)（x,y(x)）的切線方程為，它與X軸、Y軸的截距分別為，按條件有 ，化簡(jiǎn)得，這是克萊洛方程，它的通解為一族直線，它的包絡(luò)是，消去c后得我們所求的曲線.(四) 試證：就克萊洛方程來說，p判別曲線和方程通解的c判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解.證：克萊洛方程 y=xp+f(p)的p判別曲線就是用p消去法，從 中消去p后而得的曲線； c判別曲線就是用c消去法，從通解及它對(duì)求導(dǎo)的所得的方程中消去c而得的曲線，顯然它們的結(jié)果是一致的，是一單因式，因此p判別曲線是通解的包絡(luò)，也是方程的通解. 1. 設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果在區(qū)間上有常數(shù)或常數(shù)，則和在區(qū)間上線形無關(guān)。解：由物理知識(shí)得：根據(jù)題意：故：即：(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有又當(dāng)t=0時(shí)，V=0，故c=因此，此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系為：36. 解下列的黎卡提方程（1）解：原方程可轉(zhuǎn)化為：觀察得到它的一個(gè)特解為：，設(shè)它的任意一個(gè)解為，代入（*）式得到：由（**）（*）得：變量分離得：兩邊同時(shí)積分：即：故原方程的解為 （2）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任意一個(gè)解為，故變量分離再兩邊同時(shí)積分得：即故原方程的解為（3）解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任一個(gè)解為，故，該式是一個(gè)的伯努利方程兩邊同除以得到：即：，令，則：，根據(jù)一階非齊線性方程的求解公式得：故：因此：原方程的解為：（4）解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：即：故：原方程的解為：（5）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個(gè)特解為，故設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：故：原方程的解為：，即.（6）解：原方程可化為：由觀察得到它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：從而：故原方程的解為：即：（7）解：由觀察得到它的一個(gè)特解為，故設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是n=2的佰努利方程，兩邊同除以得：即：從而：故原方程的解為： 1 求方程=x+y通過點(diǎn)(0,0)的第三次近似解； 解： 取 = 2 求方程=xy通過點(diǎn)(1,0)的第三次近似解； 解： 令 則 = 3 題 求初值問題： R：1，1的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計(jì)；解： 因?yàn)? M=max{}=4 則h=min(a,)= 則解的存在區(qū)間為== 令 =0 。解： 設(shè)為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在點(diǎn)的切線在軸上的截距為： 由題意得 即 也即 兩邊同除以，得 即 即 為方程的解。10． 解：令 即 而故兩邊積分得到 因此原方程的解為。解：若方程具有為積分因子， （是連續(xù)可導(dǎo)） 令 ， .， ， ， 方程有積分因子的充要條件是：是的函數(shù)，此時(shí)，積分因子為 . 令 ，此時(shí)的積分因子為18. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.證:必要性 若該方程為線性方程,則有 ,此方程有積分因子,只與有關(guān) .充分性 若該方程有只與有關(guān)的積分因子 .則為恰當(dāng)方程 ,從而 , , .其中 .于是方程可化為即方程為一階線性方程.(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u)g(u),\，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xy[f(xy)g(xy)])證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u(píng)得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0則=uf+uy+yf=+yf===而=ug+ux+xg=+ xg==故=，所以u(píng)是方程得一個(gè)積分因子21．假設(shè)方程（）中得函數(shù)M（x,y）N(x,y)滿足關(guān)系=Nf(x)Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程（）有積分因子u=exp(+)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即證u+M=u+Nu()=N Mu()=Nef(x)M eg(y)u()=e(Nf(x)Mg(y))由已知條件上式恒成立，故原命題得證。22．求解下列方程。（2） 由題意得： （3） （4）1）先證是（）的一個(gè)解。所以x(0)=0. x’(t)=) 兩邊積分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 當(dāng)t=0時(shí) x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tg[x’(0)t]求下列方程的解1．=解： y=e (e)=e[e()+c]=c e ()是原方程的解。4． ， n為常數(shù).解：原方程可化為： 是原方程的解.5．+=解：原方程可化為：= ()= 是原方程的解.6． 解： =+令 則 =u因此：= （*） 將帶入 （*）中 得：是原方程的解.13這是n=1時(shí)的伯努利方程。（3） 設(shè)，是（）的任意兩個(gè)解則 （5） （6）于是（5）得 即 其中為任意常數(shù)也就是滿足方程（）（5）（6）得 即 也就是滿足方程（）所以命題成立。湊微分，得 ：2． 解： ， .則 .所以此方程為恰當(dāng)方程。2設(shè)是
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