【正文】 解：原方程可化為：由觀察得到，它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：即：故：原方程的解為：（5）解：原方程可化為：由觀察得，它的一個(gè)特解為，故設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：故：原方程的解為：，即.（6）解：原方程可化為：由觀察得到它的一個(gè)特解為，設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是的伯努利方程兩邊同除以得到：即：則：從而：故原方程的解為：即：（7）解：由觀察得到它的一個(gè)特解為，故設(shè)它的任一個(gè)解為，于是，這是n=2的佰努利方程，兩邊同除以得：即：從而：故原方程的解為： 1 求方程=x+y通過(guò)點(diǎn)(0,0)的第三次近似解； 解： 取 = 2 求方程=xy通過(guò)點(diǎn)(1,0)的第三次近似解； 解： 令 則 = 3 題 求初值問(wèn)題： R：1，1的解的存在區(qū)間，并求解第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計(jì)；解： 因?yàn)? M=max{}=4 則h=min(a,)= 則解的存在區(qū)間為== 令 =0 。35. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度等于零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。解：，又，由此 即 其中，解之得 又時(shí)，；時(shí)。確定發(fā)動(dòng)機(jī)停止2分鐘后艇的速度。解： 設(shè)為所求曲線上的任一點(diǎn)，則在點(diǎn)的切線在軸上的截距為： 由題意得 即 也即 兩邊同除以，得 即 即 為方程的解。31. 解： 方程可化為 兩邊同除以，得 即 令，則 即 兩邊積分得 將代入得， 即 故 32. 解： 方程可化為 兩邊同加上，得 （*）再由，可知 （**）將（*）/（**）得 即 整理得 兩邊積分得 即 另外，也是方程的解。29. 解： 令，則 ， ，那么 即 兩邊積分得 即為方程的解。另外，即也是方程的解。10． 解：令 即 而故兩邊積分得到 因此原方程的解為。6． 解： 得到 即 另外也是方程的解。證明：因?yàn)槭欠匠痰姆e分因子所以 為恰當(dāng)方程即 ，下面只需證的全微分沿方程恒為零事實(shí)上：即當(dāng)時(shí)，是方程的解。證明：若，則又即為的一個(gè)積分因子。解：若方程具有為積分因子， （是連續(xù)可導(dǎo)） 令 ， .， ， ， 方程有積分因子的充要條件是：是的函數(shù)，此時(shí)，積分因子為 . 令 ，此時(shí)的積分因子為18. 設(shè)及連續(xù),試證方程為線性方程的充要條件是它有僅依賴于的積分因子.證:必要性 若該方程為線性方程,則有 ,此方程有積分因子,只與有關(guān) .充分性 若該方程有只與有關(guān)的積分因子 .則為恰當(dāng)方程 ,從而 , , .其中 .于是方程可化為即方程為一階線性方程.(u)，g(u)連續(xù)、可微且f(u)g(u),\，試證方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有積分因子u=(xy[f(xy)g(xy)])證：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0兩邊同乘以u(píng)得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0則=uf+uy+yf=+yf===而=ug+ux+xg=+ xg==故=，所以u(píng)是方程得一個(gè)積分因子21．假設(shè)方程（）中得函數(shù)M（x,y）N(x,y)滿足關(guān)系=Nf(x)Mg(y),其中f(x),g(y)分別為x和y得連續(xù)函數(shù)，試證方程（）有積分因子u=exp(+)證明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即證u+M=u+Nu()=N Mu()=Nef(x)M eg(y)u()=e(Nf(x)Mg(y))由已知條件上式恒成立，故原命題得證。湊微分，得 ：5.(sincos+1)dx+( cos sin+)dy=0解： M=sincos+1 N= cos sin+= sincos cos+sin= sincos cos+sin所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程因?yàn)閟indxcosdx+dx+ cosdy sindy+dy=0d(cos)+d (sin)+dx+d()=0所以，d(sincos+x )=0故所求的解為sincos+x =C求下列方程的解：6．2x(y1)dx+dy=0解：= 2x , =2x所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程又2xydx2xdx+dy=0所以，d(yx)=0故所求的解為yx=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，d e( x2x+2)+d( xy)=0即d [e( x2x+2)+ xy]=0故方程的解為e( x2x+2)+ xy=C8. 2xydx+( x+1)dy=0解：2xydx+ xdy+dy=0d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解為xy+y=C解：兩邊同除以 得即，故方程的通解為解：方程可化為：即， 故方程的通解為： 即：同時(shí)，y=0也是方程的解。湊微分，得 3． 解： 則 .因此此方程是恰當(dāng)方程。1. 解： ，=1 .則所以此方程是恰當(dāng)方程。22．求解下列方程。由題意得：（5） 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫(xiě)成的形式設(shè)是()的一個(gè)解則 （4’）于是 （4’）（4）得從而 即 所以，命題成立。（2） 由題意得： （3） （4）1）先證是（）的一個(gè)解。兩邊同除以 令 = P(y)=2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 ==16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于∞t∞上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。兩邊同除以，令 P(x)= Q(x)=1由一階線性方程的求解公式 =14 兩邊同乘以 令 這是n=2時(shí)的伯努利方程。3．=s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。所以x(0)=0. x’(t)=) 兩邊積分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 當(dāng)t=0時(shí) x(0)=0 故c=0 所以x(