常微分方程第二章練習與答案(存儲版)
【正文】 0 ? ? ???? ?? ???? dsedssfe xx sxaxsxax ? ? ??????? ?? ???? 2 )(2220 )(m a x11m a x fkaeef aa ?????42 11 所以 ?是有界算子 . 。習 題 ２ １ 判斷下列方程是否為恰當方程，并且對恰當方程求解： １． 0)12()13( 2 ???? dyxdxx 解： 13),( 2 ?? xyxP ， 12),( ?? xyxQ ， 則 0???yP， 2???xQ ， 所以 xQyP ????? 即 原方程不是恰當方程． ２． 0)2()2( ???? dyyxdxyx 解： ,2),( yxyxP ?? ,2),( yxyxQ ?? 則 ,2???yP ,2???xQ 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當方程 則 ,0)22( ???? y d yx d yy d xx d x 兩邊積分得： .222 22 Cyxyx ??? 3． 0)()( ???? dycybxdxbyax （ a,b 和 c為常數(shù)）． 解： ,),( byaxyxP ?? ,),( cybxyxQ ?? 則 ,byP??? ,bxQ??? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當方程 則 ,0???? c y d yb x d yb y d xa x d x 兩邊積分得： .22 22 Ccybx yax ??? 4． )0(0)()( ????? bdycybxdxbyax 解： ,),( byaxyxP ?? ,),( cybxyxQ ?? 則 ,byP ???? ,bxQ??? 因為 0?b , 所以xQyP ?????，即 原方程不為恰當方程 ５． 0s in2c o s)1( 2 ??? u d ttu d ut 解： ,c o s)1(),( 2 ututP ?? ututQ sin2),( ? 則 ,cos2 uttP ??? ,cos2 utxQ ??? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當方程 則 ,0c o s)s i n2c o s( 2 ??? uduudttudut 兩邊積分得： .sin)1( 2 Cut ?? ６． 0)2()2( 2 ????? dyxyedxyeye xxx 解： xyeyxQyeyeyxP xxx 2),(,2,( 2 ????? ， 則 ,2yeyP x ???? ,2yexQ x ???? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當方程 則 ,0])2()[(2 2 ????? dyxyedxyyedxe xxx 兩邊積分得： .)2( 2 Cxyey x ??? ７． 0)2(l n)( 2 ???? dyyxdxxxy 解： ,2ln),(),( 2 yxyxQxxyyxP ???? 則 ,1xyP??? ,1xxQ??? 所以xQyP ?????，即 原方程為恰當方程 則 02)ln( 2 ???? y dydxxx dydxxy 兩邊積分得： 23 ln3 yxyx ?? .C? ８． ),(0)( 22 為常數(shù)和 cbac x y d ydxbyax ??? 解： ,),(,),( 22 c x yyxQbyaxyxP ??? 則 ,2byyP??? ,cyxQ??? 所以 當xQyP ?????，即 cb?2 時， 原方程為恰當方程 則 0)( 22 ??? c x y d ydxbydxax 兩邊積分得： 233 bxyax ? .C? 而當 cb?2 時原方程不是恰當方程． ９． 01222 ???? dtt ssdsts 解： ,),(,12),(22t ssstQtsstP ???? 則 ,212t stP ???? ,21 2t ssQ ???? 所以xQyP ?????， 即原方程為恰當方程 , 兩邊積分得： Ct ss ?? 2 ． 10． ,0)()( 2222 ???? dyyxyfdxyxxf 其中 )(?f 是連續(xù)的可微函數(shù)． 解： ),(),(),(),( 2222 yxyfyxQyxxfyxP ???? 則 ,2 fxyyP ???? ,2 fxyxQ ???? 所以xQyP ?????， 即原方程為恰當方程 , 兩邊積分得： 22()f x y dx C??? , 即原方程的解為 CyxF ?? )( 22
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