常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用(存儲(chǔ)版)
【正文】 istic模型） 馬爾薩斯模型為什么不能預(yù)測未來的人口呢？這主要是地球上的各種資源只能供一定數(shù)量的人生活,隨著人口的增加,自然資源環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著,如果當(dāng)人口較少時(shí),人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話,那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后,應(yīng)對馬爾薩斯模型中關(guān)于凈增長率為常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.1838年,荷蘭生物數(shù)學(xué)家韋爾侯斯特(Verhulst)引入常數(shù),用來表示自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)（一般說來,一個(gè)國家工業(yè)化程度越高,它的生活空間就越大,食物就越多,從而就越大）,并假設(shè)將增長率等于,即凈增長率隨著的增加而減小,當(dāng)時(shí),凈增長率趨于零,按此假定建立人口預(yù)測模型.解 由韋爾侯斯特假定,馬爾薩斯模型應(yīng)改為上式就是邏輯模型,該方程可分離變量,其解為,.下面,我們對模型作一簡要分析.（1）當(dāng),即無論人口的初值如何,人口總數(shù)趨向于極限值；（2）當(dāng)時(shí),這說明是時(shí)間的單調(diào)遞增函數(shù)；（3）由于,所以當(dāng)時(shí),單增；當(dāng)時(shí),單減,即人口增長率由增變減,在處最大,也就是說在人口總數(shù)達(dá)到極限值一半以前是加速生長期,過這一點(diǎn)后,生長的速率逐漸變小,并且遲早會(huì)達(dá)到零,這是減速生長期；（4）用該模型檢驗(yàn)美國從1790年到1950年的人口,發(fā)現(xiàn)模型計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際人口在1930年以前都非常吻合,自從1930年以后,誤差愈來愈大,事實(shí)上,隨著一個(gè)國家經(jīng)濟(jì)的騰飛,它所擁有的食物就越豐富, 的值也就越大；(5）,又當(dāng)人口總數(shù)為時(shí),人口每年以2%的速率增長,由邏輯模型得 ,即 ,從而得 ,即世界人口總數(shù)極限值近100億.值得說明的是：人也是一種生物,因此,上面關(guān)于人口模型的討論,原則上也可以用于在自然環(huán)境下單一物種生存著的其他生物,如森林中的樹木、池塘中的魚等,邏輯模型有著廣泛的應(yīng)用.二、市場價(jià)格模型 對于純粹的市場經(jīng)濟(jì)來說,商品市場價(jià)格取決于市場供需之間的關(guān)系,市場價(jià)格能促使商品的供給與需求相等(這樣的價(jià)格稱為(靜態(tài))均衡價(jià)格).也就是說,如果不
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