常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用(參考版)
2024-10-06 17:06本頁(yè)面
【正文】 常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用這里介紹幾個(gè)典型的用微分方程建立數(shù)學(xué)模型的例子.一、人口預(yù)測(cè)模型 由于資源的有限性,當(dāng)今世界各國(guó)都注意有計(jì)劃地控制人口的增長(zhǎng),為了得到人口預(yù)測(cè)模型,必須首先搞清影響人口增長(zhǎng)的因素,而影響人口增長(zhǎng)的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭(zhēng)等諸多因素,如果一開(kāi)始就把所有因素都考慮進(jìn)去，,先把問(wèn)題簡(jiǎn)化,建立比較粗糙的模型,再逐步修改,得到較完善的模型. 例1（ 馬爾薩斯 （Malthus） 模型） 英國(guó)人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家馬爾薩斯（1766—1834）在擔(dān)任牧師期間,查看了教堂100多年人口出生統(tǒng)計(jì)資料,發(fā)現(xiàn)人口出生率是一個(gè)常數(shù),于1789年在《人口原理》一書(shū)中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型,他的基本假設(shè)是：在人口自然增長(zhǎng)過(guò)程中,凈相對(duì)增長(zhǎng)（出生率與死亡率之差）是常數(shù),即單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與人口成正比,比例系數(shù)設(shè)為,在此假設(shè)下,推導(dǎo)并求解人口隨時(shí)間變化的數(shù)學(xué)模型.解 設(shè)時(shí)刻的人口為,把當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理（因人口總數(shù)很大,可近似地這樣處理,此乃離散變量連續(xù)化處理）,據(jù)馬爾薩斯的假設(shè),在到時(shí)間段內(nèi),人口的增長(zhǎng)量為,并設(shè)時(shí)刻的人口為,于是 這就是馬爾薩斯人口模型,用分離變量法易求出其解為,此式表明人口以指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間無(wú)限增長(zhǎng). 模型檢驗(yàn)：據(jù)估計(jì)1961年地球上的人口總數(shù)為,而在以后7年中,人口總數(shù)以每年2%的速度增長(zhǎng),這樣, ,于是 .這個(gè)公式非常準(zhǔn)確地反映了在1700—,這期間地球上的人口大約每35年翻一番,（請(qǐng)讀者證明這一點(diǎn)）．但是,后來(lái)人們以美國(guó)人口為例,用馬爾薩斯模型計(jì)算結(jié)果與人口資料比較,卻發(fā)現(xiàn)有很大的差異,尤其是在用此模型預(yù)測(cè)較遙遠(yuǎn)的未來(lái)地球人口總數(shù)時(shí),發(fā)現(xiàn)更令人不可思議的問(wèn)題,如按此模型計(jì)算,到2670年,地球上將有36 （事實(shí)上,地球表面還有80%被水覆蓋）,我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了,這是非?；闹嚨?因此,這一模型應(yīng)該修改. 例2（邏輯Log
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