常微分方程教材(參考版)
2025-06-27 15:07本頁(yè)面
【正文】 【例2】 求的一個(gè)特解?！纠?】 求的通解。（2） 當(dāng)是特征單根時(shí)，可設(shè)為，即為一m＋1次多項(xiàng)式。說明1：非齊次常系數(shù)線性微分方程的解法主要是求它的特解；方程的右邊項(xiàng)應(yīng)理解為系統(tǒng)的輸入，用實(shí)例說明系統(tǒng)的輸入對(duì)輸出的影響。但自由項(xiàng)不是本節(jié)的兩種形式，可用常數(shù)變易法求特解。 常系數(shù)非齊次線性微分方程一、內(nèi)容要點(diǎn)： 二階常系數(shù)非齊次線性方程的定義及在自由項(xiàng)為兩種特殊形式時(shí)用待定系數(shù)法尋找特解。說明2：用特征方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程要求熟練一、 二階常系數(shù)線性齊次方程的解二、 定義:稱形如 (1),其中為常數(shù)的方程為二階常系數(shù)線性齊次方程.\下面我們來討論其解的結(jié)構(gòu).命題1: 是的解是的解,并稱(2)是(1)的特征方程.(i) 當(dāng)特征方程(2)有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí),則,時(shí)方程(1)的兩個(gè)解,且不恒為常數(shù),從而方程(1)的通解為.(ii) 當(dāng)時(shí),則是(1),代入(1)得 ,所以 則 取,則通解為: (iii) 當(dāng),則,應(yīng)用歐拉公式,得, 構(gòu)造 顯然線性無關(guān),故通解為: [例1] 求通解 (1) (2) (3) 解: (1) 特征方程為 則從而通解為 (2) 特征方程為 則從而通解為 (3) 特征方程為 則從而通解為 (1)特征方程為 (2)(i) 當(dāng)(2)中有單根時(shí),(1)的通解中含:。本單元的作業(yè)：說明1： 把求解常系數(shù)線性齊次微分方程的問題化成求解多項(xiàng)式代數(shù)方程的問題，這不僅僅是一種普通的求方程解的技巧，在線性控制系統(tǒng)中系統(tǒng)和不同的環(huán)節(jié)都可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換導(dǎo)出它的傳遞函數(shù)也是一個(gè)多項(xiàng)式代數(shù)方程，這說明常系數(shù)線性齊次微分方程和多項(xiàng)式代數(shù)方程之間有著本質(zhì)上的聯(lián)系。 常系數(shù)齊次線性微分方程內(nèi)容要點(diǎn)： 二階常系數(shù)齊次線性方程的定義，特征方程、通解、n階常系數(shù)齊次線性方程的定義，特征方程、通解。解：，又不恒為常數(shù)所以，線性無關(guān)。定理3：設(shè)，分別是與，則＋是的解。定理2：設(shè)是的特解。若，則方程為齊次的，若，則稱方程為非齊次的。注1:若線性無關(guān)，則無法合并成，但當(dāng)線性相關(guān)可以合并。否則，稱在區(qū)間I上線性無關(guān)。對(duì)于二階非齊次線性方程而言，若相應(yīng)的二階齊次線性方程的通解為，也可用常數(shù)變易法找出其特解。③線性方程的通解包括了該方程的所有解。本單元的教學(xué)提綱關(guān)于二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)①齊次線性方程和非齊次線性方程都有解的可加性。167。從理論上，按以上兩種方法都能算出結(jié)果，但可能難度有差別。解：令，則，從而 ，積分，得 由，得所以 由知所以 由知 【例5】 求的通解。解：令令，則，則 （一階線性方程）利用（4），得通解： 又，所以通解三、―缺少令，則，代入，得設(shè)其通解為，則，即，積分即得。令，則，則，設(shè)其通解為則 ，兩邊積分即得通解。一、―連續(xù)積分n次即得其通解。說明2：高階線性微分方程的應(yīng)用背景非常廣泛，要針對(duì)不同的專業(yè)選擇不同的問題引入課題，這樣能使學(xué)生對(duì)微分方程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣。可降階的二階微分方程 通常的二階微分方程為，有四個(gè)變數(shù)，僅當(dāng)缺少時(shí)一定可以降階求解。
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