[理學(xué)]常微分方程第五講：全微分方程(參考版)
2024-10-19 21:13本頁面
【正文】 /yp? ** 借助于一些變量代換，將隱式形式的方程 化為參數(shù)形式方程 。而 可直接由（3） 端 于p求 得到。 西南科技大學(xué)理學(xué)院 35 /( l n ) 1y x y? ??求方程 5 //1l n .1l n .xyydyp x pd x px ??? ? ?由原方程解出 得：即有解 令 , .1d p pd y p? ?得整理21 1 1,d p d pp d y p d ypy? ? ?兩端關(guān)于 求導(dǎo)得西南科技大學(xué)理學(xué)院 36 1lnlnxpp py p p C????????? ?.( 為參數(shù))參數(shù)則 原方程有 形式的通解l n ,y p p C? ? ?變用分離 量法求解上式得西南科技大學(xué)理學(xué)院 37 若可從方程（ 1）解出 y，即 /( , ) . ( 2 )y f x y? 解法： //( , ).y f x pypyp??????引入?yún)?shù) ,于是（2 ）等價(jià)于//( , ) ( , )).(,xpy f x p xdpp f x p f x pdx???對 關(guān)于 求導(dǎo)，得西南科技大學(xué)理學(xué)院 38 ( , ) ,( , ( , ) ) .p p x Cy f xdpdxp x C??從上式解出 , 若能求得解則（2 ）有通解這/ 里p = p ( x , C ) 只能代入y = f ( x , p ) , 不能代入y = p .西南科技大學(xué)理學(xué)院 39 ( , , ) 0 ,( , )( , , ) 0G p x Cy f x pGpdxxpdCp??????， 若只能從關(guān)于 的方程求得通積分則可通過聯(lián)立方程再消去 ，得到原方程的通積分。) ( 2 39。) 39。 /( , ) 0 ,F y y ?53 ( 39。 3 39。 （ 1）不含 y （或 x）的方程 （ 2）可解出 x 的方程 （ 3）可解出 y 的方程 若不能從 (1)解出 y 的一階導(dǎo)數(shù)，或者即使能解出，但很難求解，則需要借助于其它辦法進(jìn)行討論。 ( 3 ) 39。dx xxx e ex?? ??? ? ?00 2103 . 1 , 0 : 1 .yx yyx y d x d y C Cxx??? ? ? ? ? ? ???????西南科技大學(xué)理學(xué)院 18 思考與練習(xí)： 試求一階線性方程和 Bernoulli方程的積分因子 2 3 2 2( 3 2 ) ( ) 0 .x y x y y d x x y d y? ? ? ? ?例 1: 求解微分方程： 3 2 22 ( 1 ) 0 .x y d x x y d y? ? ?例 2: 求解微分方程： 西南科技大學(xué)理學(xué)院 19 .0)()3( 22 的通解求微分方程???? dyxyxdxyxy例 3 解 11( ) ,MNN y x x?? ??????? dxxex 1)(? .x?則原方程化為 ,0)()3( 2322 ???? dyyxxdxxyyx)(3 32 xdyy d xxydyxy d xx ???))(21( 23 xyyxd ?? ,0?可積組合法 西南科技大學(xué)理學(xué)院 20 原方程的通解為 .)(21 23 Cxyyx ?? (公式法 ) 觀察法 : 憑觀察湊微分得到 ),( yx?常見的全微分表達(dá)式 ???????? ??? 222 yxdy d yxdx ???????? xydx y dxxd y 2????????? xydyx y d xx d y a r c t a n22 ? ?xydxy y dxxd y ln???????? ???? )l n (21 2222 yxdyx ydyxdx?????? ????? yx yxdyx ydxx d y ln2122西南科技大學(xué)理學(xué)院 21 受上述結(jié)論的啟發(fā)通常我們經(jīng)?？梢赃x用的積分因子有： .,1,1,1,1 2222222 等xyyxyxyxxyx ?? 這種方法給我們又提供了一種求解微分方程
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1