【正文】 ?? 和? ?,.x f y y?? 對于方程 ? ?,y f x y?? () 10 其中 f u,v( ) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) . 引進(jìn)參數(shù) yp?? ,則式 ()改為 ? ?,y f x p? ，兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù)，并將 yp?? 代入，得到 .p f dppx p dx??? ? ? 這是一個關(guān)于 p 的一階微分方程，且它的導(dǎo)數(shù)已解出 .于是可利用上面的方法求解 .假設(shè)其通解為 ? ?, , 0x p c? ? ，則原方程的通解為 ? ?? ?, , 0,x p cy f x p? ??????? 其中， p 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 例 9 求解方程 2 24 2 2 0 .d y d yx x yd x d x?? ? ? ? ????? 解 從方程中可以看出解出 dydx 是有一定困難的，但易解出 ? ?2 242 .2y xy xy ????? 令 yp?? , 上方程寫為 2242 ,2p px xy ??? 兩邊對 x 求導(dǎo)數(shù)，整理得 2 2 2 ,d p d pp p p x xd x d x? ? ? ? 即 ? ?2 1 0 .dppx dx??? ? ????? 由此可得 p x c?? ? 和 2 0,px??其中 c 為任意常數(shù)，將上述兩式分別與 2242 ,2p px xy ??? 聯(lián)立，得原方程的通解 22,42 ,2p x cp px xy? ? ???? ????? 和特解 11 222 0 ,42 ,2pxp px xy????? ????? 其中 ,p 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . 類似地，對于方程 ? ?,x f y y?? 同樣令 ,yp?? 于是兩邊對 y 求導(dǎo)數(shù)，并以 yp?? 代入，得到 1 .f f dpp y p dy???? 這是關(guān)于 p的一階微分方程，并且它的導(dǎo)數(shù)已經(jīng)解出，于是可以用前面的方法求解，設(shè)其通解為 ? ?, , 0,x p c? ? 即得原方程的參致形式通解為 ? ?? ?, , 0,y p cx f y p? ??????? 其中 ,p 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . 例 10 求方程 0dydxdy exdx ? ? ? 的解 . 解 從方程中可看到解出 dydx 是相當(dāng)困難的，但易解出 dydxdyxedx??,引入?yún)?shù) dy pdx? ,則所求方程可改寫成 px p e?? ,兩邊對 y 求導(dǎo)，并代入 1dxdy p?,得到 1 ,pdp dpep dy dy?? 即 ? ? .pdy p pe dp?? 由此可得 2 .2 pppy pe e c? ? ? ? 于是原方程的參數(shù)形式的通解為 2 ,2,ppppy pe e cx p e? ? ? ? ??????? 12 其中 ,p 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . (1) 不顯含 y 或 x 的方程，即 ? ?,0F x y? ? 和 ? ?,0F y y? ? . 對于方程 ? ?,0F x y? ? ，令 yp?? ，則從幾何觀點(diǎn)看 ? ?,0F x p ? 表示 xp? 平面上的一條曲線，若能夠把此曲線用適當(dāng)參數(shù)表示成 ? ? ? ?,x t y t???? 其中 ,t 為參數(shù) .基于基本公式 dy pdx? ，則有 ? ? ? ? ,dy t t dt???? 即 ? ? ? ? .y t t dt c?????? 于是原方程的參數(shù)形式的通解為 ? ?? ? ? ?,xty t t dt c???????????? ? 其中 ,t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 注意：此方法的關(guān)鍵在于把曲線寫成適當(dāng)?shù)膮?shù)形式，易于積分 . 例 11 求方程 0dydxdy exdx ? ? ? 的解 . 解 此方程即為上面例題 10 中的方程，但它為（ 2）類型方程，它不顯含未知函數(shù) y ,令 yp?? ，則方程寫成 0pp e x? ? ? ，于是方程可以寫成參數(shù)形式 , px t ept? ??? ?? 則 ? ?1 tdy pdx t e dt? ? ?，計(jì)算 ? ? 21 2t t tty t e dt te e c? ? ? ? ? ?? ，因此原方程的參數(shù)形式的通解為 2,2pttx t ety te e c? ???? ? ? ? ??? 其中 , t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 類似地，對于不顯含自變量 x 的方程，采用同樣的處理方法，即對方程 ? ?, 0,F y y? ? 令,yp?? 則方程改寫成 ? ?, 0,F y p ? 此方程可以用適當(dāng)?shù)膮?shù)形式表示： ? ? ? ?,y t p t???? 基于基本公式 1 ,dx dyp?則原方程的通解參數(shù)形式為 13 ? ?? ?? ?,tx dt ctyt????? ???????? 其中 , t 為參數(shù) ,c 為任意常數(shù) . 注意： 方程 ? ?, 0,F y y? ? 中只是不顯含自變量 x ，而不是不含 x ，因此還要關(guān)注方程? ?,0 0,Fy ? 是否有解 .若存在 yk? ，滿足 ? ?,0 0Fk ? ，則不難驗(yàn)證 yk? 也是方程的解 . 例 12 求方程 ? ? ? ?22 12y y y??? ? ?的解 . 解 方程中不顯含自變量 x ，令 , 2 ,y p p yt?? ? ?代入方程得 21,1,yttpt? ????? ??? 這是原方程的參數(shù)形式，由基本公式得 21 .dydx dtpt? ? ? 對其積分，得到 1 .xct?? 故原方程通解的為 1 ,1 ,xctytt? ?????? ???? 其中 ,t 為參數(shù)， c 為任意常數(shù) . 另外，方程 ? ?,0 0,Fy ? 即 2 4,y? 有解 2,y?? 可知其也為原方程的解 . 一些特殊形式的方程 一些特殊形式的方程也可以用變量代換法來求解，比如 ? ?= + ,dy f ax by cdx ?可令 u ax by c? ? ? 。 為求解齊次方程，我們引進(jìn)新的未知函數(shù) yu x? ，利用等式 ,dy duxudx dx??? ? ? ?, 1,f x y f u? 可以把齊次方程化為等價的變量分離方程 ? ?1,dux f u udx ?? 由于變量分離方程總是能用初等積分法求解的，因此齊次方程也是能夠求解的。 在一階微分方程中變 量分離方程也是一種最基本的方程類型，通過變量代換變形等方法可將不同類型的一階微分方程最終化為變量分離方程進(jìn)而求解。用初等積分法求解常微分方程的一般是進(jìn)行一定的變量變換 ,把所給的方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程。常微分方程在數(shù)學(xué)專業(yè)中具有一定的地位，同時它在經(jīng)濟(jì)、建筑、物理、工業(yè)等領(lǐng)域中都有著十分廣泛的應(yīng)用。 變量代換法在求解常微分方程中有著十分廣泛的應(yīng)用， 許多類型的方程求解依賴變量代換法方法來完成。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 畢 業(yè) 論 文 常微分方程中的 變 量代 換 法 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文），是我個人在指導(dǎo)教師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的成果。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。變量變換法也是基于化歸思想的一種方法。 微分方程的一個主要問題是“求解”，但是一般微分方程無法求解，只能通過對某些類型用相應(yīng)的方法求解。它一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，恰當(dāng)運(yùn)用變量代換法可以起到化繁為簡 、 化難為易的效果。 步驟包括： （ 1）分離變量； 2 （ 2）對方程兩邊同時積分并整理成通解； （ 3）借助初始條件來求方程的特解。 例 1 求解方程yxdy yedx x?? 3 解 該方程是齊次方程。 ? ? ? ? 0,yf xy dx xg xy dy??可令 u xy? 。同時，在一些類型的常微分方程的一題多解中采用變量代換法往往比較容易。z 的項(xiàng)，即要 ? ? ? ? ? ?2 0 ,u x p x u x? ?? 只需取 ? ? ? ?12 .p x dxu x e? ?? 19 于是，作變換 ? ?12 ,p x dxy ze? ?? () 方程 ()就變成 ? ? 0,z I x z???? () 其中 ? ? ? ? ? ? ? ?211 .42I x q x p x p x?? ? ? 稱為不變式 . 當(dāng) ??Ix是以下三種情形時 : (1) ? ?2cIxx?(c 為常數(shù) ),(2) ? ? ? ?? ? ,xIxx??????(3) ? ?Ix? 常數(shù)，可求得方程 ()的有限形式通解，從而也就求出了原方程 ()的有限形式通解，這是因?yàn)? 在情形 (1) ? ?2 ,cIx x?方程 ()是歐拉方程，可求出 ()的有限形式通解； 在情形 (2) ? ? ? ?? ? ? ?,xI x z xx? ????? ? ?是方程 ()的一個特解，進(jìn)一步可得方程 ()的通解； 在情形 (3) ? ?Ix? 常數(shù) ,方程 ()是常系數(shù)線性微分方程，可求出 ()的有限形式通解 . 例 18 討論 Bessel 方程 ? ?2 2 2 0,x y xy x n y?? ?? ? ? ? () 其中常數(shù) n179。該方程又可寫為 221 ,dt t xx dx x? ? ? 即 2,dt xdx x??????? 所以 31 ,3t Cxx ?? 即 41 .3t Cx x?? 是原方程的通積分 . 黎卡提（ Riccati）方程 形如 ? ? ? ? ? ?2dy P x y Q x y R xdx ? ? ? 的方程叫做 黎卡 提（ Riccati） 方程 （ ,16761754）， 其中 ? ? ? ? ? ?,P x Q x R x為區(qū)間 I 上的連續(xù)函數(shù)， 且 ??Px不恒等于 0，其右端函數(shù)是一個關(guān)于 y 二次多項(xiàng)式 .一般來說， 9 它不能用初等積分法來解出 . 若假設(shè)它的一個特解是 ??1 ,yx作變換 ? ?1 ,y z y x?? 則方程可化為以 z 為未知函數(shù)的伯努利方程 ? ? ? ? ? ? ? ? 212,dz P x y x Q x z P x zdx ? ? ?????這是一個 2n? 的伯努利方程，故可用初等積分法來求解。當(dāng) 0x? 時，齊次方程也可以表示為dy ygdx x??? ????的形