【正文】 0. 解 將方程變形為 221 1 0 .ny y yxx???? ?? ? ? ????? 可見， ? ? ? ? 221 , 1 .np x q xxx? ? ?令 112 .dxx zy zex? ??? 原方程就變成 22111 0 .4z n zx?????? ? ? ? ????????? 20 特別地，考慮 12n?時的 Bessel 方程，即 22 1 0.4x z xy x y???? ?? ? ? ????? () 此時不變式 ??Ix為常數(shù)，通過變換 ,zyx? 可化為 0,zz???? () 這是常系數(shù)的線性微分方程，其通解為 12si n s .z C x C co x?? 所以，方程 ()的通解為 ? ?121 si n s ,y C x C co xx?? 其中 12,CC為任意常數(shù)，它的形式與用冪級數(shù)求出的相同 . 常數(shù)變易法 形如 ? ? ? ?dy P x y Q xdx ?? () 的方程稱為一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，其中 ? ? ? ?,P x Q x 為區(qū)間上關(guān)于 x 的連續(xù)函數(shù) . ? ? 0Qx? 時，方程 ()變?yōu)? ? ? ,dy P x ydx ? () 稱方程 ()為一階非齊次線性方程 . 對于一階非齊次線性方程 ()，其通解為 ? ? ,P x dxy ce?? () 其中， c 為任意常數(shù) . 21 很明顯方程 ()是方程 ()的特殊形式，兩者間既有聯(lián)系又有區(qū)別，所以可設(shè)想方程 ()的通解是式 ()的某種推廣，而使用這種推廣的一個經(jīng)驗(yàn)且簡單有效的方法就是把式 ()中的常數(shù)變易為 c 的待定函數(shù) ??cx，使它滿足方程 ()，從而求出 ??cx，也就是求方程 ()如下形式的解 : ? ? ? ? ,P x dxy c x e?? () 微分之，代入方程 ()得到 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,P x dx P x dx P x dxdc x e c x P x e P x c x e Q xdx ? ? ?? ? ? () 即 ? ? ? ? ? ? .P x dxdc x Q x edx ??? 兩邊對 x 積分，得到 ? ? ? ? ? ? .P x d xc x Q x e d x c????? 為此，方程 ()的通解為 ? ? ? ? ? ? ,P x d x P x d xy e Q x e d x c???????????? () 其中 ,c是任意常數(shù) . 上述這種將常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法一般稱作常數(shù)變易法，進(jìn)一步，方程 ()滿足初始條件 ? ?00y x y? 的解為 ? ? ? ? ? ?0000,xtxxP x dx P u duxxy e y Q t e dt???????????? 例 19 求方程 xndy n y e xdx x??的通解，其中 n 為常數(shù) . 解 要求的方程是一階非齊線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 . 首先，求相應(yīng)的齊次方程 dy nydx x? 的通解 ,易知其通解為 .ny cx? 其次 ,通過常數(shù)變易法來求原方程的通解 .故把上式中 c 看成待定函數(shù) ??cx,即設(shè) ? ? ny c x x? 為原方程的解，微分之并代人原方程，整理得 ? ? ,xdc x edx ? 積分之，求得 ? ? .xc x e c??因此原方程的通解為 22 ? ? ,xny e c x?? 其中 ,c 是任意常數(shù) . Laplace 變換 假設(shè)函數(shù) ??ft在區(qū)間 ?0,??? 上分段連續(xù)，且有正數(shù) M 和 a 使得 ? ? , 0,atf t Me t?? () 則含復(fù)參數(shù) s 的無窮積分 ? ? ? ?0 stF s e f t dt? ?? ? () 當(dāng) Re sa? 時存在 .稱函數(shù) ??Fs為 ??ft的 Laplace 變換，并記做 ? ? ? ?? ? ? ?.F s L f t f t? 稱為原函數(shù)，而 ??Fs稱為像函數(shù) .稱 ??ft為 ??Fs的 Laplace 反演變換，或簡稱 Laplace 逆變換，并記為 ? ? ? ?? ?1 .f t L F s?? 由定義易見， Laplace 變換 L 及其逆變換 L1 都是線性算子，即 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 2 2 1 1 2 2 ,L C f t C f t C L f t C L f t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 11 1 2 2 1 1 2 2 ,L C F s C F s C L F s C L F s? ? ?? ? ? 其中 12,CC是任意常數(shù)，由定義并經(jīng)過計算，可以算出一些特殊的函數(shù)的 Laplace 變換及性質(zhì) . 例 20 求解初值問題 ? ? ? ? ? ?3 4 2 c o s sin ,0 0 , 0 0 , 0 0 .ty y y y t e ty y y??? ?? ?? ? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? 解 令 ? ?? ? ? ?,L y t Y s? 方程兩邊同時取 Laplace 變換，得 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222 211 1 1 1 1 1 1sYs s s s ss????? ? ? ? ??? ? ??? ?? ? ?? ? ? ?? ?222 2813 131552 .1 1 0 111 11s sss ss s? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ?????? 反查 Laplace 變換表，得 23 ? ? ? ?? ? 2221s in .11t sL te t s ?? ?????? 因而，所求的解為 ? ? ? ?3 8 1 1c o s s in c o s 3 s in s in .2 5 5 1 0 2t t t tty t e e t e t t t e t? ? ? ? ? ? 常系數(shù)線性微分方程組的初值問題也可以用 Laplace 變換法來求解 . 特征函數(shù)法 下面討論求解 n階常系數(shù)線性微分方程 ? ? ? ? ? ? ? ?111: nn nnL y y a y a y a y f x? ? ?? ? ? ??? ? ? ? () 和相應(yīng)的齊次線性方程 ? ? ? ? ? ?111: 0 ,nn nnL y y a y a y a y? ? ?? ? ? ???? ? ? () 其中 1,naa??? 是實(shí)常數(shù) , ??fx是區(qū)間 a x b??上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，而 ??Ly是線性微分算子 . 問題的關(guān)鍵是求出齊次線性微分方程 ()的一個基本解組 . 可以借助微分方程組的結(jié)論 .作變換 ? ?112, , , ,nny y y y y y ??? ? ??? ? 則方程 ()等價于常系數(shù)齊次線性微分方程組 ,dy Aydx? () 其中 1 2 1.0 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0. . . .. . . .. . . .0 0 0 . . . 1...n n nAa a a a??? ??????????? ? ? ??? () 此矩陣的 A 的特征行列式是 24 ? ?1 2 1de t1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . .. . . .. . . .0 0 0 . . . 1...n n nIAa a a a???????????? () 利用行列式的性質(zhì)，可計算出 A 的特征方程為 ? ? ? ? 111: = d e t = 0 .nn nnF I A a a a? ? ? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? ? () 這恰是在微分方程 ()中把 yk() 別換成 l k k = 0,1,n( )所得出的代數(shù)方程 .因而 ,方程()也叫做微分方程 ()或 ()的特征方程，它的根稱作特征根 . 例 21 求解方程 d2 ydx2 2 dydx 3 y = 0. 解 特征方程是 l 2 2l 3 = 0. 它有兩個特征根 l1 = 1,l2 = ，通解是 312,xxy C e C e??? 其中 C1,C2 是任意常數(shù) . 4. 變量代換法在解題中的優(yōu)越性 通過對一些類型的常微分方程的解法的分析，變量代換法在求解微分方程中具有重要的作用和地位，通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q還可以將方程簡化最終轉(zhuǎn)化為可以求積分的類型，或是把多元未知數(shù)一元化，或是把高階方程低階化，使微分方程的形式變的相對來說更加簡單，求解更加容易。 定理： 設(shè) Riccati 方程 2 ,mdy ay bxdx ?? 其中 ,abm 都是常數(shù)，且 0,a? 若 0, 0,xy??則能用某一初等變換將上述方程化成變量分離方程的充要條件是 ? ?440 , 2 , , 1 , 2 , ,2 1 2 1kkmkkk??? ? ? ????? 例 8 求 解微分方程 222 1 .x x xy e y ye e?? ? ? ? ? 解 將此方程變形為： 2 2 x x xy e y e y e e?? ? ? ? 這是一個 Riccati 方程 .根據(jù)方程的特點(diǎn)可觀察出此方程有一個特解 令 ? ?1 ,y z y x?? ，則方程可變?yōu)? 2 e z??? 該方程的通解是 1 .xz eC? ? 從而，原方程的通解是 1 .xxyeeC??? 其中 C是任意常數(shù) . 一階隱式方程 前幾節(jié)給出的一階方程的幾種解法，都是基于 dydx 可以明顯解出而且可表示成? ?,dy f x ydx ? 的形式，但對于一般形式 ? ?, , 0F x y y? ? 中無法解出 dydx 或者解出 dydx 的表達(dá)式相當(dāng)復(fù)雜的情況下，則難以用上述那些方法求解，而宜采用引進(jìn)參數(shù)（變量代換）使之變?yōu)閷?dǎo)數(shù)已解出的類型再求解，這里介紹兩種類型，可以解出 y 或 x 的方程，即 ? ?,y f x y