二階常微分方程解的存在問(wèn)題分析畢業(yè)論文(已修改)
2025-06-30 06:16 本頁(yè)面
【正文】 二階常微分方程解的存在問(wèn)題分析畢業(yè)論文目 錄167。1 引言 5167。2 常系數(shù)線性微分方程的解法 5 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法——特征方程法 5 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 7Ⅰ： 7Ⅱ： 10167。3 二階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法 11 可將階的一些方程類(lèi)型 11 二階線性微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 14 二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化 16 歐拉方程 16 二階線性微分方程的常系數(shù)化 17167。4 拉普拉斯變換 18167。5 二階微分方程的存在唯一性 20 存在唯一性定理 20 應(yīng)用舉例 25 關(guān)于二階線性齊次方程解的零點(diǎn) 25 二階線性非齊次方程的邊值問(wèn)題 25致 謝 28參考文獻(xiàn) 2925167。1 引言二階線性微分方程是常微分方程中一類(lèi)很重要的方程。這不僅是因?yàn)槠湟话憷碚撘呀?jīng)研究地比較清楚，而且還因?yàn)樗茄芯糠蔷€性微分方程的基礎(chǔ)，在工程技術(shù)和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。本文將主要介紹幾種不同類(lèi)型的二階線性微分方程的解法，及二階微分方程的初值問(wèn)題的存在唯一性定理。167。2 常系數(shù)線性微分方程的解法 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法——特征方程法若是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其中均為常數(shù) （）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，那么（）的通解就可表示成（為任意常數(shù)）由此可知，只要找到方程（）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，就能求出（）的通解。我們知道，當(dāng)為常數(shù)時(shí)，函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)。因此，可以設(shè)想（）有形如的解，將代入方程（）得：又，則必有 （）即如果是（）的解，則必滿足方程（）.反之，若滿足方程（），則就是（）的一個(gè)特解。我們稱(chēng)方程（）是方程（）的特征方程，它的根就稱(chēng)為特征根，且特征根.下面根據(jù)特征根的不同情況分別進(jìn)行討論。1）有兩個(gè)不相等的實(shí)根:，易知和是方程（）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則方程（）的通解為：；2）有兩個(gè)相等的實(shí)根:易知是方程（）的一個(gè)特解，設(shè)另一特解為，將代入到（）得： （)又，則可得，不妨取，代入（）得：，則方程（）的通解為： ；3） 有一對(duì)共軛復(fù)根：，易知與是方程（）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)值解。而，若取，由解的疊加性知，也是方程（）的兩個(gè)特解，又，于是，就是方程（）的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)值解。從而方程（）的通解為：。 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法現(xiàn)在討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 （）的求解問(wèn)題。這里是常數(shù)，是連續(xù)函數(shù)。我們可以由其對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程()的通解出發(fā)，使用常數(shù)變易法求出（）的特解。因而，只要能求出（）的特征根，（）的求解問(wèn)題就已經(jīng)解決。但是，這樣的方法往往是比較繁瑣的，而且必須經(jīng)過(guò)積分運(yùn)算。事實(shí)上，只要求得方程（）的通解，再求出該方程的一個(gè)特解，就可得出它的通解表達(dá)式。下面，我們討論當(dāng)是某些特殊形式的連續(xù)函數(shù)時(shí)，所適用的求解其特解的簡(jiǎn)便方法——待定系數(shù)法。Ⅰ：設(shè)是次多項(xiàng)式，即（）下面來(lái)證明：1）當(dāng)不是特征根時(shí)，（）有形如的特解，其中是關(guān)于的次待定的多項(xiàng)式，即.2）當(dāng)是重特征根時(shí)，（）有形如的特解，其中也是形如上述的次多項(xiàng)式。中的系數(shù)可以由待定系數(shù)法求得。證： 若，此時(shí)，下面分兩種情況進(jìn)行討論。（i）若不是特征根，（）的特征方程為，則.是次多項(xiàng)式，方程（）有如下形式的特解： （）將（）代人（）得：等
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