二階常微分方程解的存在問題分析畢業(yè)論文-展示頁
2025-06-27 06:16本頁面
【正文】 （）的通解就可表示成（為任意常數(shù)）由此可知，只要找到方程（）的兩個線性無關(guān)的解，就能求出（）的通解。本文將主要介紹幾種不同類型的二階線性微分方程的解法，及二階微分方程的初值問題的存在唯一性定理。1 引言二階線性微分方程是常微分方程中一類很重要的方程。4 拉普拉斯變換 18167。2 常系數(shù)線性微分方程的解法 5 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法——特征方程法 5 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法 7Ⅰ： 7Ⅱ： 10167。二階常微分方程解的存在問題分析畢業(yè)論文目 錄167。1 引言 5167。3 二階微分方程的降階和冪級數(shù)解法 11 可將階的一些方程類型 11 二階線性微分方程的冪級數(shù)解法 14 二階變系數(shù)線性微分方程的常系數(shù)化 16 歐拉方程 16 二階線性微分方程的常系數(shù)化 17167。5 二階微分方程的存在唯一性 20 存在唯一性定理 20 應(yīng)用舉例 25 關(guān)于二階線性齊次方程解的零點 25 二階線性非齊次方程的邊值問題 25致 謝 28參考文獻(xiàn) 2925167。這不僅是因為其一般理論已經(jīng)研究地比較清楚，而且還因為它是研究非線性微分方程的基礎(chǔ)，在工程技術(shù)和自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。167。我們知道，當(dāng)為常數(shù)時，函數(shù)和它的各階導(dǎo)數(shù)只相差一個常數(shù)。我們稱方程（）是方程（）的特征方程，它的根就稱為特征根，且特征根.下面根據(jù)特征根的不同情況分別進(jìn)行討論。而，若取，由解的疊加性知，也是方程（）的兩個特解，又，于是，就是方程（）的兩個線性無關(guān)的實值解。 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法現(xiàn)在討論二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 （）的求解問題。我們可以由其對應(yīng)的齊次線性微分方程()的通解出發(fā)，使用常數(shù)變易法求出（）的特解。但是，這樣的方法往往是比較繁瑣的，而且必須經(jīng)過積分運算。下面，我們討論當(dāng)是某些特殊形式的連續(xù)函數(shù)時，所適用的求解其特解的簡便方法——待定系數(shù)法。中的系數(shù)可以由待定系數(shù)法求得。（i）若不是特征根，（）的特征方程為，則.是次多項式，方程（）有如下形式的特解： （）將（）代人（）得：等式兩邊的同次冪系數(shù)相等，得到一個確定待定系數(shù)的方程組：由于，所以上述方程組有唯一解（ii）若是重特征根?當(dāng)時，有，則，方程（）變?yōu)椋?（）令，則（）式變?yōu)椋?（），不是（）的特征根。從而，其中，我們只需求出（）的一個特解，故可取，此時，（）的一個特解為 ：?時，有，則，方程（）變?yōu)椋旱仁絻蛇叿e分兩次得：，其中，.取，則所以，是重特征根時，方程（）有形如的特解。從而，方程（）的非零特征根就對應(yīng)于方程（）的零特征根，并且重數(shù)也相同。Ⅱ：其中，分別為兩個已知的關(guān)于的次和次多項式，為常數(shù)?？梢钥闯?，（）式就相當(dāng)于兩個類型Ⅰ形狀的函數(shù)相加。疊加原理 設(shè)有二階非齊次方程 （）且分別是方程的解，則函數(shù)是方程（）的解。即不能當(dāng)時，就令，而時，就令.167。若方程 （）的左端恰為某一函數(shù)對的全導(dǎo)數(shù)，即則稱方程（）為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程。方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的是指滿足.作變換（是新未知函數(shù)），則有,代入到（）中，有因為方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是齊次的，約去非零公因子，得到上式經(jīng)整理后可化為的形式，這就是關(guān)于新未知函數(shù)的一階
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