常微分方程求解的高階方法畢業(yè)論文-展示頁
2025-07-04 13:51本頁面
【正文】 數(shù)。 直觀上容易看出，用梯形公式計(jì)算數(shù)值積分要比矩形公式好。式（）說明，向前Euler 方法是一階方法，因此它的精度不高。為了估計(jì)它，由Taylor展開得到的精確值是 （）、（）兩式相減（注意到）得 即局部截?cái)嗾`差是階的，而數(shù)值算法的精度定義為： 若一種算法的局部截?cái)嗾`差為，則稱該算法具有p 階精度。向后Euler公式的右端含有，因此是隱式公式，一般要用迭代法求解，迭代公式通常為 Euler方法的誤差估計(jì)對于向前Euler 公式（）我們看到，當(dāng)時(shí)公式右端的都是近似的，所以用它計(jì)算的會有累積誤差，分析累積誤差比較復(fù)雜，這里先討論比較簡單的，所謂局部截?cái)嗾`差。向后 Euler 法與Euler 法形式上相似，但實(shí)際計(jì)算時(shí)卻復(fù)雜得多。這組公式求問題（）的數(shù)值解稱為向前Euler 公式。 getchar()。 i=78。 } printf(\n)。 i++){ printf(\n%5d,i)。 for(i=0。 i=78。 printf(%5s%8s%15s%15s%18s%14s,k,X[k],F[k],Y[k],CY[k],E[k])。 i++) printf(=)。 for (i=0。 }void showtable_s() //微分方程組輸出時(shí)用 { //內(nèi)容與 showtable() 類似 }// 輸出各離散點(diǎn)處的 X值， Y值， 導(dǎo)數(shù)值， 精確值， 誤差值 // 分別對應(yīng)于 X[k]， Y[k]， F[k]， CY[k]， E[k]void showtable() //優(yōu)化輸出顯示 { int i,j。 E[i] = fabs( CY[i] Y[i])。 i=real。 }/********************* changing part end**************************/void cal_error() //計(jì)算誤差值以對各種方法進(jìn)行比較 { int i。/******以下代碼根據(jù)待求解的對象的特殊性進(jìn)行賦值和在main()中選取*****/double func (double x, double y) //計(jì)算各離散點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值 { return y *x/y 。公共程序模塊如下: 這里為了良好地比較，選用可求解析解的一階常微分方程作為討論: ()其解析式為 /* Filename: */includeincludeincludedefine MAX 100int real = 1。第二章 數(shù)值解法公共程序模塊分析編程選擇: 由于并不需要采用STL等泛型程序設(shè)計(jì)的方法，采用C++并不會比采用C減少太多代碼，況且這里的實(shí)際代碼比較簡單，所以為了減少系統(tǒng)的開銷，采用Tubro C來實(shí)驗(yàn)。（iii）Taylor 多項(xiàng)式近似將函數(shù)在處展開，取一次Taylor 多項(xiàng)式近似，則得 再將的近似值代入上式右端，所得結(jié)果作為的近似值，得到離散化的計(jì)算公式 以上三種方法都是將微分方程離散化的常用方法，每一類方法又可導(dǎo)出不同形式的計(jì)算公式。（ii）用數(shù)值積分方法將問題（）的解表成積分形式，用數(shù)值積分方法離散化。式（1,7）是個(gè)離散化的問題，稱為差分方程初值問題。今后如無特別說明，我們總?cè)〔介L為常量 h 。下面主要討論一階常微分方程的初值問題，其一般形式是在下面的討論我們總假定函數(shù) f (x, y) 連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足李普希茲(Lipschitz)條 件，即存在常數(shù) L ，使得 這樣，由常微分方程理論知，初值問題(1)的解必定存在唯一。 含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分)的方程稱為微分方程；未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程；未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程，稱為偏微分方； ()和()式均是微分方程.微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階.微分方程()是一階的，微分方程()是二階的.、通解與特解能使微分方程成為恒等式的函數(shù)，稱為微分方程的解.例如和都是的解.又如和都是的解.如果微分方程的解中含任意常數(shù),且獨(dú)立的(即不可合并而使個(gè)數(shù)減少的)任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解為微分方程的通解.不包含任意常數(shù)的解為微分方程特解.用以確定微分方程解中任意常數(shù)的特定條件，稱為微分方程的初值條件.初值條件的提法：當(dāng)x=x0時(shí)，y=y0，.，.所以函數(shù)是所給微分方程()，任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程()的階數(shù)相同，所以它是該方程的通解.求解常微分方程的解析方法很多，像變量分離法，積分因子法，遺憾的是實(shí)際上得到的大部分常微分方程都不能使用這些理論上的方法。再如傳染病傳染問題（人口增長模型問題）也要用到微分方程的知識。同樣，一塊冷的物體，其溫度上升的速度是與他自身溫度同外界溫度的差值成正比。案例：一次謀殺案，在某天下午四點(diǎn)發(fā)現(xiàn)尸體，尸體的體溫為30℃，假設(shè)當(dāng)時(shí)屋內(nèi)空間的溫度保護(hù)20℃不變，現(xiàn)判斷謀殺是何時(shí)發(fā)生的？解決此問題首先必須要從尸體溫度的變化尋求關(guān)系式，這就需要知道物理學(xué)中的加熱與冷卻規(guī)律?！〕Ｎ⒎址匠糖蠼獾母唠A方法畢業(yè)論文目 錄第一章 前 言 1 1 1 通解與特解 1 2. 2 3 4第二章 數(shù)值解法公共程序模塊分析 5第三章 歐拉（Euler）方法 7 Euler方法思想 7 Euler方法的誤差估計(jì) 8 8 8 9第四章 休恩方法 10 休恩方法思想 10 10第五章 泰勒級數(shù)法 11 11 N次泰勒方法 12第六章 龍格庫塔（Runge—Kutta法） 13（Runge—Kutta）方法基本思想 13 階龍格庫塔（Runge—Kutta）方法公式 14第七章 預(yù)報(bào)校正方法 15 MilneSimpon方法 16 16 正確的步長 17第八章 一階微分方程組與高階微分方程的數(shù)值解法 17 一階微分方程組的數(shù)值解法 17 高階微分方程的數(shù)值解法 18第九章 常微分方程模型數(shù)值解法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 19 19 問題的提出 19 模型的構(gòu)建 19 模型的求解 20 司機(jī)飲酒駕車防避模型的數(shù)值解法 21 模型假設(shè) 22 模型建立 22 模型求解 24 模型評價(jià) 25 誠懇建議 25 模型推廣 26主要參考文獻(xiàn) 26致 謝 2
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