常微分方程--第四章高階微分方程(41節(jié)(2)-展示頁(yè)
2024-10-28 17:11本頁(yè)面
【正文】 b? ? ? ? ? ?1 1 2 21 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 1 2 2( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) 0nnnnn n nnnc x t c x t c x tc x t c x t c x tc x t c x t c x t? ? ?? ? ?? ? ? ????? ?? ??? ? ? ????? ? ? ? ??可以看成關(guān)于 的齊次線性代數(shù)方程組，它的 系數(shù)就是朗斯基行列式 12, , , nc c c()Wt 要使此方程組存在非零解，則它的系數(shù)行列式必須 為零，即朗斯基行列式在區(qū)間 [a,b]上為零。 kn?1 1 2 2 ( ) ( ) ( )nnx c x t c x t c x t? ? ? ?n特別地，當(dāng) 時(shí)，即方程（ ）有解 它含有 個(gè)任意常數(shù)， 問(wèn)題： 它是 n階齊次線性方程（ ）的通解嗎？ 線性相（無(wú)）關(guān)、朗斯基 (Wronsky)行列式 線性相（無(wú)）關(guān)的定義 12( ) , ( ) , , ( )kx t x t x t[ , ]t a b?c o s , sintt21 , , , , nt t ta t b?? 如果存在不全為零的常數(shù) ，使得 定義在區(qū)間 上的函數(shù) 12, , , kc c c對(duì)于所有 都成立，則稱(chēng)這些函數(shù)是線性相關(guān)的，否則稱(chēng)這些函數(shù)在所給區(qū)間上線性無(wú)關(guān)。把 () 叫做對(duì)應(yīng)于方程 ()的齊次線性微分方程。這部分內(nèi)容有兩部分： 線性微分方程（組）：在第四、五章討論 非線性微分方程（組）：在第六章簡(jiǎn)單介紹 167。本章重點(diǎn)講述： A 線性微分方程的基本理論； B 常系數(shù)線性方程的解法； C 某些高階方程的降階和二階方程的冪級(jí)數(shù)解法。 對(duì)于二階及二階以上的微分方程的解包括基本理論和求解方法。 4. 1 線性微分方程的一般理論 第四章 高階微分方程 一、引言 n階線性微分方程一般形式 : 111 1( ) ( ) ( ) ( ) , ( 4 . 1 )nnnnnnd x d x d xa t a t a t x f td t d t d t???? ? ? ? ?稱(chēng) ()為 n階齊次線性微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)齊次線性方程，而 () 稱(chēng)為 n階非齊次線性微分方程，簡(jiǎn)稱(chēng)非齊次線性方程。 其中 及
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