二階非齊次線性微分方程的解法(已修改)
2025-06-30 06:16 本頁面
【正文】 目 錄待定系數(shù)法常數(shù)變異法冪級(jí)數(shù)法特征根法升階法降階法關(guān)鍵詞：微分方程，特解，通解，二階齊次線性微分方程常系數(shù)微分方程 待定系數(shù)法解決常系數(shù)齊次線性微分方程特征方程 (1) 特征根是單根的情形設(shè)是特征方程的的個(gè)彼此不相等的根，則相應(yīng)的方程有如下個(gè)解： 如果均為實(shí)數(shù)，則是方程的個(gè)線性無關(guān)的實(shí)值解，而方程的通解可表示為如果方程有復(fù)根，則因方程的系數(shù)是實(shí)系數(shù)，復(fù)根將成對(duì)共軛出現(xiàn)。設(shè)是一特征根，則也是特征根，因而與這對(duì)共軛復(fù)根對(duì)應(yīng)，方程有兩個(gè)復(fù)值解它們的實(shí)部和虛部也是方程的解。這樣一來，對(duì)應(yīng)于特征方程的一對(duì)共軛復(fù)根，我們可求得方程的兩個(gè)實(shí)值解（2） 特征根有重跟的情形若特征方程的重零根，對(duì)應(yīng)于方程的個(gè)線性無關(guān)的解。若這個(gè)重零根設(shè)特征根為其重?cái)?shù)為。方程的解為對(duì)于特征方程有復(fù)重根的情況，譬如假設(shè)是重特征根，則也是重特征根，可以得到方程的個(gè)實(shí)值解例1 求方程的通解。解 特征方程的根為有兩個(gè)實(shí)根，均是單根，故方程的通解為這里是任意常數(shù)。例2 求解方程 的通解。解 特征方程的根為有兩個(gè)復(fù)根，均是單根，故方程的通解為這里是任意常數(shù)。某些變系數(shù)線性齊次微分方程的解法（1） 化為常系數(shù)1. 在自變量變換下，可化為常系數(shù)的方程一類典型的方程是歐拉方程 我們想找一個(gè)變換，使方程的線性及齊次性保持不變，且把變系數(shù)化為常系數(shù)。根據(jù)方程本身的特點(diǎn)，我們選取自變量的變換，并取，即變換 就可以達(dá)到上述目的（這里設(shè)，當(dāng)時(shí)，取，以后為確定起見，認(rèn)為）。事實(shí)上，因?yàn)榇敕?
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1