二階非齊次線性微分方程的解法-展示頁
2025-06-27 06:16本頁面
【正文】 原方程的通解為方法二由方法一知對應(yīng)的齊次線性的通解為為求非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，我們先求方程 ，而不是特征根，故可設(shè)特解為分出它的實(shí)部于是原方程的通解為注：對于這是因?yàn)椋蟮耐ń?對應(yīng)的齊次方程的特征方程為即得特征根為對應(yīng)方程，設(shè)其特解為代入方程則的即方程的一個(gè)特解為對應(yīng)方程，設(shè)其特解為代入方程則的 即方程有一個(gè)特解為對應(yīng)方程，設(shè)其特解為代入方程則的 即方程有一個(gè)特解為所以原方程的通解為這里是任意常數(shù).升階的方法升階是常微分方程很少提到的一種方法，這是因?yàn)殡S著階數(shù)的升高，一般會(huì)使得求解更為繁瑣，但適當(dāng)運(yùn)用這種方法，具體分析見參考文獻(xiàn)【9】 例 用升階法求方程的一個(gè)特解 解 兩邊同時(shí)逐次求導(dǎo)，直到右邊為常數(shù)，得令，則代回原方程，得，解之，有，該表達(dá)式幾位方程的一個(gè)特解. 例 用升階法求方程的一個(gè)特解解 先求解方程，令，代入方程，得，取，進(jìn)一步取，則其虛部函數(shù)為原方程的一個(gè)特解，即可求得原方程的一個(gè)特解為 常數(shù)變易法定理 如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，是區(qū)間上齊次線性微分方程的基本解組，那么，非齊次線性微分方程的滿足初值條件的解有下面公式給出這里是的朗斯基行列式，是在中的第列代以后得到的行列式，而且非齊次方程的任一解都具有形式這里是適當(dāng)選取的常數(shù).特別地，當(dāng)時(shí)的特解為其中因此，當(dāng)時(shí)，常數(shù)變易公式變?yōu)? 而通解就是 法二設(shè)是方程的基本解組，
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