【正文】 有界 ,解 )(x?在 時(shí)無(wú)窮可微 . 22()41( , ) ( )2xatu x t e dat?? ? ???????? ?拉普拉斯方程 :解 01 1 1( ) ( ( ) ) d4 Suu M u Sn r r n???? ? ?????在解的定義區(qū)域內(nèi)都是解析函數(shù) . 0t?(2) 解的極值性質(zhì) 波動(dòng)方程 :沒有極值原理 . 熱傳導(dǎo)方程 :在區(qū)域內(nèi)的最大值不可能超過(guò)區(qū)域初始時(shí)刻和區(qū)域側(cè)面的邊界 . 調(diào)和方程 :當(dāng)解不是常數(shù)時(shí) ,在區(qū)域內(nèi)不可能取得最大值 ,在邊界處任一處都有可能取到極值 . (3)影響區(qū)域和依賴區(qū)域 波動(dòng)方程 : xx at? x at?依賴區(qū)間 t( , )P x tx1x x at??t1x決定區(qū)域 2x2x x at??1xx2xt2x x at??影響區(qū)域 1x x at??熱傳導(dǎo)方程 :一點(diǎn)的影響區(qū)域是該點(diǎn)以上的整個(gè)區(qū)域 . 拉普拉斯方程 :在曲面 上任一小的一部分 給出邊界值 ,它的影響區(qū)域是全部區(qū)域 . ? 1?(4)關(guān)于時(shí)間的可逆 .(物理過(guò)程可逆 , 變?yōu)? 方程是否會(huì)變 ) t t?波動(dòng)方程 :可逆 . 熱傳導(dǎo)方程 :不可逆 . 拉普拉斯方程 :沒有時(shí)間 ,所以沒有可逆性 . (5)解的漸進(jìn)性態(tài) 波動(dòng)方程 :對(duì)于齊次第一類和或第二類初邊值的解不衰減 . 熱傳導(dǎo)方程 :對(duì)于齊次第一類和或第二類初邊值的解以指數(shù) 衰減趨于它的平衡態(tài) .對(duì)于初值問(wèn)題的解 ,則以 趨于零 . 為空間維數(shù) . n拉普拉斯方程 :沒有時(shí)間所以沒有衰減性 . 2nt?3 定解問(wèn)題提法的比較 . (1) 對(duì)于波動(dòng)方程的狄利柯雷問(wèn)題 ,方程可以化簡(jiǎn)為 ,02??????u在區(qū)域 上的狄利柯雷問(wèn)題 , 0,0, ???? ???? ba???????????????????).0()(),(),0()(),(),0()(),0(),0()()0,(4321bfauafbubfuafu??????????????0 )0,(a),( ba),0( ba??b??為使邊界條件連續(xù) ,還須有 1 2 1 4 3 2 3 4( 0 ) ( 0 ) , ( ) ( 0 ) , ( 0 ) ( ) , ( ) ( )f f f a f f f b f a f b? ? ? ?等相容性條件 .由于方程 的通解 ),()( ?? gfu ??代入邊界條件： )()()0(),0(),()0()()0,(21??????fgfufgfu??????所以 ),0()()(),0()()( 21 ffggff ???? ????即 )),0()0(()()( 21 gfffu ???? ??結(jié)合 ),0()0()0()0,0( 1fgfu ???即 ).0()()( 121 fffu ??? ??所以必須成立 ),0()()()(),0()()()(12141213ffafffbfff??????????否則所提的問(wèn)題無(wú)解 ,因而我們一般不提波動(dòng)方程的狄利柯雷問(wèn)題 . (2) 對(duì)于熱傳導(dǎo)方程 ,有所證明解的唯一性可知 ,在矩形域上 , 狄利柯雷無(wú)解 . (3) 對(duì)于拉普拉斯方程 , ?????????????????.0||,s i n1,0|000?xxkyyuunxnyuu,02222??????yuxu由分離變量法可得這個(gè)問(wèn)題的解 .s i n1),( 1 n x s h n ynyxu kn ??可以證明此解唯一 ,但不穩(wěn)定 ,因?yàn)闈M足齊次的邊界與初始條件 0||| 000 ?????????? ?xxyy uuyuu的解 比較 ,雖說(shuō)邊界條件相同 ,而當(dāng) 時(shí) , 滿足的初始條件本身以及直到 階導(dǎo)數(shù)都一致趨于 所滿足 的齊次初始條件 ,但所對(duì)應(yīng)的解 不趨于 ,且與 的差趨于無(wú)窮 . 0),(0 ?yxu ??n1?k 0unu 0u 0u作業(yè) 3 解 ： 3:函數(shù) 滿足 s i n s i nu a t x? 22222000| | 0| 0 , | si nx x nt t tuuatxuuu u a x????? ?????????????????它在邊界 上為零 ,內(nèi)部不為零 .因此與熱傳導(dǎo)混合問(wèn)題類似的極值原理不存在 . 0 , 0 ,t x x ????對(duì)于柯西問(wèn)題 , 2222200| 0 , |xttuuatxuuet??? ????? ???????? ??的解為 11[ ] [ ] 02 2 2xx atx at x at at atx ateu e d e e e ea a a? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ??但在邊界 ,因而極值原理不成立 . 0 , 0tu??四、先驗(yàn)估計(jì) 先驗(yàn)估計(jì)： 在所討論的定解問(wèn)題有解的先驗(yàn)假定下 ,導(dǎo)出解所應(yīng)當(dāng)滿足的估計(jì)式 . . 在區(qū)域 上的解 ,滿足 ,則成立 定理 (極值原理 ):設(shè) 為定解問(wèn)題 u??????? )(|),(xuxfu?? 0??u,m a xm a x ?? ? uu其中 為 中具有光滑邊界 的有界區(qū)域 . ? nR ?證明 :若 成立 ,則容易得到結(jié)論 .事實(shí)上 ,若 在 內(nèi)某點(diǎn) u ? 取得極大值 ,則對(duì)一切 都有 ,從而 不可能成立 . 0??u若 成立 ,則對(duì)任意給定的 ,令 ,則 0??u0??u0?? 1xeuw ???,01 ????? xeuw ? 于是 的最大值只能在邊界上達(dá)到 ,從而有 m a x ( ) m a x ( ) m a x ( )u x w x w x?????再令 ,既得結(jié)論 . 0??1m a x ( ) m a x ,xu x e?????P 22 ( ) 0u Px? ??iw定理 （最大模估計(jì)） ： 設(shè) 是上述問(wèn)題的解 ,則成立 證明： 不妨設(shè) 位于帶形區(qū)域 中 ,作輔助函數(shù) 其中 .于是 ,在 中有 )()(2 ???? CCu,||m a x CFu ????其中 ,而 是只依賴于 和 的正常數(shù) . |)(|s u p|,)(|m a x xfFx ?? ??? ? C n ?? dx ?? 10Feexv axad )()( 1????1?a ?,0)( 12 ????? Feafvu ax而在邊界 上 ?.0?? vu故有定理 在 內(nèi)部也成立 .取 ,既得 同樣可得 這就證明了定理 . 0,uv?? ? 1?? adeC,m a x CFu ????,)(m a x CFu ?????定理 （最大模估計(jì)） ： 設(shè) 是問(wèn)題 的解 ,則 其中 表示為 中具有光滑邊界 的有界區(qū)域 ,且 . )()(),( 2 TT QCQCtxu ??)(),(|)(|),(),0(02????????????txguxutxfuauTtxxt?,||m a x BFTuT???? ?.||m ax|,|m axm ax|,|s u p0, gBfF TxxxQ T ???????? ?? nR ? ).,0( TQT ???證明： 和定理 若 , 且在 中滿足 則 的極大值必在 的拋物邊界 上達(dá)到 .令 .w)()( 02 TT QCQCw ?? TQ,02 ??? waw t),( txw tQ}0,{},0{: Ttxxtt ?????????.),(),( BFttxutxw ???易見在 中 ,02 ????? Ffwaw ttQ此外 ,根據(jù) 的選擇可知 在拋物邊界 上非正 ,所以由 B ),( txwt?BFTtxutQ??),(m a x定理 在 中非正 ,從而 同理 , 定理得證 . .)(m a x BFTutQ???( , )w x t tQ . 由于波動(dòng)方程沒有極值原理 ,所以較少用極大模估計(jì) . 假設(shè) 是 中的有界區(qū)域 ,且具光滑邊界 ,在區(qū)域 中考察二階雙曲型方程 )(),(),(),(),(),( 011,222txfutxctutxbxutxbxxutxatu ni iinji jiij??????????????????? nR ? ).,0( TQ T ???(1)系數(shù) 及右端 都是 上的連續(xù)函數(shù) ,而且 在 上還具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) . cbba iij , 0 f tQtQija(2)對(duì)一切 成立 ,且存在正常數(shù) ,使得對(duì)一切 及任意給定的實(shí)向量 , 成立 nji ,2,1, ?? jiij aa ? 0?atQtx ?)