[理學(xué)]167442二階常系數(shù)線性微分方程-展示頁
2025-01-28 14:43本頁面
【正文】 xf x 2c o s)( ? ，屬于 )s i nc o s( xBxAe x ???? 型的函數(shù)， 故所求特解 )2s i n101102c o s101 1( xxey x ???? 。 ∴ xexy 361?? ， 故原方程的通解為 )( 21 xCCey x ?? + xex 361。 ∵ xxexf ?)( ，屬 xm exPxf ?? )()( 型 ( 1 ,1 ???m ) ， 而 1?? 是特征方程的重根， ∴設(shè) xeAxAxy )( 12 ??? ? ， xx exAxAexAxAy )()23()( 21312 ?????? ?? ， 例 3 ．求方程 xxeyyy ?????? 2 的通解。 解：∵特征方程為 0122 ??? rr ， 12,1 ?r 。 解：∵特征方程為 042 ??r ， 2 ,2 21 ??? rr ， ∴對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 xx eCeCY 2221 ?? ? 。 解： xexxxf ????? 0)32(32)( ， 屬 xm exPxf ?? )()( 型（ 0 ,1 ???m ）， 特征方程為 0652 ??? rr ， 21 ?r ， 32 ?r ， ∵ 0 ?? 不是特征根， ∴設(shè)特解為 101 )( AxAexQy x ??? ?? ? ， 將 ?y ， ?Ay ??? )( ， 0)( ????y ，代入原方程后得 32)56(6)(65 11 ???????? xAAxAAxAA ???? ，有 . 9731356 2 611 ??????????????AAAAA ??? 故原方程的特解為 9731 ??? xy 。 由于 中的)( xf 第二項(xiàng)xiexP)()(???與第一項(xiàng)成共軛， 所以與 成共軛 1?y 的函數(shù)xiLkeQxy)(2????? 必然是方程 xiexPcyybya)()(????????? 的特解，這里L(fēng)L 表示與 成共軛的 次多項(xiàng)式L ， 故方程 ]s i n)(c o s)([ xxPxxPecyybya nmx ????????? ?具有如下形式 的特解： .)()(21 xiLkxiLk eQxeQxyyy ????????? ????xiLkxiLk eQxeQxy )()( ??????? ??)]s i n(c os)s i n(c os[ xixQxixQex LLxk ???????? ? 由于括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)是互成共軛的，相加后即無虛部， 所以可以寫成實(shí)函數(shù)形式： )s i n)(c o s)(( )2()1( xxRxxRexy LLxk ???? ??綜上所述，有如下結(jié)論： 方程 ]s i n)(c o s)([ xxPxxPecyybya nmx ????????? ?具有形如 的特解， )s i n)(c o s)(( )2()1( xxRxxRexyLLxk ???? ??其中 次多項(xiàng)式是 )( ),()2()1(LxRxRLL， },m a x { nmL ? ， 按而 k 不是 ??? i 特征方程的根、或是特征方程的 單根依次取 0 或 1 。 應(yīng)用歐拉公式 ， 2c o sixix eex???ieex ixix2s i n???把三角函數(shù)表示為復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的形式，有 ]s i nc o s[)( xPxPexf nmx ???? ?]22[ ieePeePexixinxiximx ??????? ????xinmxinm eiPPeiPP
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