【正文】 將 y2 及其一階、二階導(dǎo)數(shù) y?2 = (uerx)? = erx(u?(x) + ru(x))， y?2 = erx (u?(x) + 2ru?(x) + r2u(x))， 代入方程 y?+ py? + qy = 0 中 ， 得 因而它的通解為 所以 y1 與 y2 線性無(wú)關(guān)， 都是 ④的解 ， 即 r1 ? r2. 那么，這時(shí)函數(shù) .221 prr ???即 .0])()2([e 2 ????????? uqprruprurx2pr ??注意到 是特征方程的重根， 所以有 r2 + pr + q = 0 及 2r + p = 0. 且 erx ? 0， 因此只要 u(x) 滿足 ,0)( ??? xu則 y2 = uerx就是 ④ 式的解 ， .e)(ee 2121 rxrxrx xCCxCCy ???? 為簡(jiǎn)便起見(jiàn) ， 取方程 u?(x) = 0 的一個(gè)解 u = x， 于是得到方程 ④ 且與 y1 = erx 線性無(wú)關(guān)的解 y2 = xerx. 因此， ④ 式的通解為 3? 特征方程具有一對(duì)共軛復(fù)根 r1 = a + ib 與 r2 = a – ib . 這時(shí)有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解 y1 = e(a + ib )x 與 y2 = e(a ib )x. 這是兩個(gè)復(fù)數(shù)解， 為了便于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)討論問(wèn)題 ， 我們?cè)僬覂蓚€(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)解 . 由歐拉公式 xxx s i nic o se i ?? (這公式我們將在無(wú)窮級(jí)數(shù)章中補(bǔ)證 )，可得 ),s i ni( c o se1 xxy x bba ??)s i ni( c o se2 xxy x bba ??于是有 ,c ose)(21 21 xyy x ba??.s i ne)(i21 21 xyy x ba??由定理 1 知 ， 以上兩個(gè)函數(shù) eax cosbx 與 eax sinbx 均為 ④ 式的解 ， ).s i nc o s(e 21 xCxCy x bba ??且它們線性無(wú)關(guān) . 因此，這時(shí)方程的通解為 上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱為特征根法 ， 其步驟是： (1) 寫(xiě)出所給方程的特征方程； (2) 求出特征根； (3) 根據(jù)特征根的三種不同情況 ， 寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的特解 ， 并寫(xiě)出其通解 . 例 1 求方程 y? 2y? 3y = 0 的通解 . 解 該方程的特征方程為 r2 2r – 3 = 0, 它有兩個(gè)不等的實(shí)根 r1 = 1， r2 = 3, 其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為 y1 = e x 與 y2 = e3x, 所以方程的通解為 .ee 321 xx CCy ?? ? 例 2 求方程 y? 4y? + 4y = 0 的滿足初始條件 y(0) = 1， y?(0) = 4 的特解 . 解 該方程的特征方程為 r2 4r + 4 = 0， ,e) 221 xxCCy ??（求得 .e)(2e 22122 xx xCCCy ????將 y(0) = 1， y?(0) = 4 代入上兩式，得 C1 = 1， C2 = 2， y = (1 + 2x)e2x. 其對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解為 y1 = e2x 與 y2 = xe2x， 所以通解為 因此，所求特解為 它有重根 r = 2. 例 3 求方程 2y? + 2y? + 3y = 0 的通 解 . 解 該方程的特征方程為 2r2 + 2r + 3 = 0， 它有共軛復(fù)根 424422,1????r .i52121 ???,21??a即 ,521?b 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解為 ,25c ose 211 xyx?? ,25s i ne 212 xyx??所以方程的通解為 .521s i n521c ose 2121?????? ?? ? xCxCy x例 4 求方程 y? + 4y = 0 的通解 . 解 該方程的特征方程為 r2 + 4 = 0， 它有共軛復(fù)根 r1,2 = ? 2i. 即 a = 0， b = 2. 對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解為 .2s i n2c o s 21 xCxCy ?? 1? 自由項(xiàng) f (x) 為多項(xiàng)式 Pn(x). 設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為 y? + py? + qy = Pn(x), 其中 Pn(x) 為 x 的 n 次多項(xiàng)式 . ),(* xQxy nk? 當(dāng)原方程 ⑥ 中 y 項(xiàng)的系數(shù) q ? 0 時(shí) ， k 取 0； 當(dāng) q = 0， 但 p ? 0 時(shí) ， k 取 1； 當(dāng) p = 0， q = 0 時(shí)， k 取 2. ⑥ 因?yàn)榉匠讨? p、 q 均為常數(shù)且多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)仍為多項(xiàng)式， 所以可設(shè) ⑥ 式的特解為 其中 Qn(x) 與 Pn(x) 是同次多項(xiàng)式， 例 5 求方程 y? 2y? + y = x2 的一個(gè)特解 . 解 因?yàn)樽杂身?xiàng) f (x) = x2 是 x 的二次多項(xiàng)式， ,2* CBxAxy ???則 ,2* BAxy ??? ,2* Ay ??代入原方程后，有 .)22()4( 22 xCBAxBAAx ???????且 y 的系數(shù) q = 1 ? 0，取 k = 0 . 所以設(shè)特解為 比較兩端 x 同次冪的系數(shù)，有 ????????????.022,04,1CBABAA解得 A = 1， B = 4， C = 6. 故所求特解為 .642* ??? xxy例 6 求方程 y? + y? = x3 – x + 1 的一個(gè)特解 . 解 因?yàn)樽杂身?xiàng) f (x) = x3 – x + 1 是一個(gè) x 的三次多項(xiàng)式， ).(* 23 DCxBxAxxy ????則 ,234* 23 DCxBxAxy ?????,2612* 2 CBxAxy ?????代入原方程后，有 )2()26()312(4 23 DCxCBxBAAx ??????.13 ??? xx且 y 的系數(shù) q = 0， p = 1 ? 0， 取 k = 1. 所以設(shè)方程的特解為 比較兩端 x 同次冪的系數(shù)： ??????????