【正文】 本科 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題目： 高階線性微分方程與線性微分方程組之間關(guān)系的研究 院（系） 專 業(yè) 班 級 姓 名 學(xué) 號 導(dǎo) 師 xxxx 年 x 月 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書 院（系） 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級 姓名 學(xué)號 （ 論文）題目： 高階線性微分方程與線性微分方程組之間關(guān)系的研究 ： 常微分方程是數(shù)學(xué)分析或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)大廈中占據(jù)著非常重要的位置，在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動過程的量與量之間的關(guān)系中，大量存在滿足常微分方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，需要我們通過求解常微分方程來了解位置函數(shù)的性質(zhì)。常微分方程是解決問題的重要工具。學(xué)生學(xué)習(xí)了專業(yè)課《常微分方程》，對于微分方程有了一個(gè)初步了解，為了是學(xué)生學(xué)以致用，本題目結(jié)合微分方程知識，進(jìn)一步要求學(xué)生，能夠?qū)ξ⒎址匠讨兄R點(diǎn)邏輯結(jié)構(gòu)搞清楚，具有一定的 理論推導(dǎo)和應(yīng)用價(jià)值。 (論文 )的主要內(nèi)容（理工科含技術(shù)指標(biāo)）： （ 1）高階線性微分方程解得結(jié)構(gòu)及初等解法的綜述； （ 2）一階線性微分組方程解結(jié)構(gòu)解得的性質(zhì)； （ 3）討論高階線性微分 方程與線性微分方程組之間關(guān)系； （ 4）給出幾個(gè)算例。 （含起始時(shí)間、設(shè)計(jì)地點(diǎn)）： 第 1周 — 第 2周： 查閱資料，了解常微分方程有關(guān)主理論與計(jì)算方法； 第 3周 — 第 4周： 查閱資料，掌握高 階微分方程與一階微分組的邏輯關(guān)系； 第 5周 — 第 13周： 著手寫論文，師生討論相關(guān)問題，第一稿完成； 第 14周 — 第 16周：修改論文； 第 17周 — 第 18周：定稿，準(zhǔn)備答辯； 以上所有工作均在學(xué)校完成。 （論文）的工作量要求 完成附有中英文摘要的畢業(yè)論文一篇。 ① 實(shí)驗(yàn)（時(shí)數(shù)） *或?qū)嵙?xí)（天數(shù)）： 1— 18周 ② 圖紙（幅面和張數(shù)） *： ③ 其他要求： 查閱相關(guān)參考文獻(xiàn)至少 18篇，其中至少 2篇外文資料；翻譯一篇相關(guān)外文資料。 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日 學(xué)生簽名： 年 月 日 系（教研室）主任審批： 年 月 日 說明： 1本表一式二份，一份由學(xué)生裝訂入附件冊，一份教師自留。 2 帶 *項(xiàng)可根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)選填。 I 高階線性微分方程與線性微分方程組之間關(guān)系的研究 摘要 本文主要總結(jié)歸納了高階 線性 微分方程和 線性 微分方程組的相關(guān)理論和結(jié)構(gòu)，討論了二者 相關(guān)方 程的 求解方法，進(jìn)而深入研究和分析了二者之間的相互 轉(zhuǎn)化 關(guān)系 . 在緒論中，主要對常微分方程的研究背景、現(xiàn)有的發(fā)展情況以及研究意義做了深入的了解，確定了本文主要研究的主要內(nèi)容。 第二章，對常微分高階線性微分方程的基礎(chǔ)理論以及齊次和非齊次線性 高階微分方程的解的性質(zhì)進(jìn)行了深入的分析與研究，并結(jié)合例題 歸納 了幾種高階線性微分的解法。 第三章， 結(jié)合 第二章中相關(guān)理論，對線性微分方程組的結(jié)構(gòu)和解的形式進(jìn)行了深入的研究，并利用消元法、首次積分法以及常數(shù)變易法對相關(guān)例題進(jìn)行了分析 與求解 . 第四章，通過對相關(guān)例題和實(shí)際問題的 求解與分析，探討了高階線性微分方程和線性微分方程的相互 轉(zhuǎn)化 關(guān)系 .線性 微分方程組可以通過消元法轉(zhuǎn)化為高階線性 微分方程進(jìn)行求解，同樣的高階 線性 微分方程也可以通過函數(shù)替換的形式和常數(shù)變易公式轉(zhuǎn)化為 線性 微分方程組，進(jìn)而求解相關(guān)問題 . 最后通過對 MATLAB 相關(guān)函數(shù)的了解，實(shí)現(xiàn)高階 線性 微分方程到 線性 微分方程組的轉(zhuǎn)化與求解。直觀的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)軟件在求解 高階線性 微分方程 時(shí)，采用的也是把高階線性微分方程轉(zhuǎn)化為線性微分方程組來求解的解題思路 . 關(guān)鍵詞： 高階 線性 微分方程； 線性 微分方程組； MATLAB II Research on the relationship between higher order linear differential equations and linear differential equations Abstract In this thesis, relevant theories and structures of highorder differential equation and differential equations are mainly introduced, and the calculation methods of relevant equations of the two and therefore further researches and analyzes the mutual transformation relationship between the two are discussed. In the introduction part, the research background, current development situation and research significance of ordinary differential equations are mainly introduced in the thesis and the major research contents of this thesis will be given. In the second chapter, the basic theory of linear highorder ordinary differential equations and the nature of the solutions to homogeneous linear differential equations and nonhomogeneous linear differential equations are researched, and several solutions to linear highorder differential equations are solved. Combining with the relevant theories in the second chapter, the structure and solution forms of linear ordinary differential equations and utilizes the method of elimination are deeply researched in the third chapter , applying first integral method and the method of variation of constant to analyze and solve related examples. Through solving and analyzing related examples and practical problems,in the fourth chapter, the mutual transformation relationship between linear highorder differential equations and linear differential equations is explored. Differential equations can be solved by being transformed into linear highorder differential equation through the method of elimination. Likewise, highorder differential equation can be solved by being transformed into differential equations by the form of function substitution and the variation of constants formula. At last, through the understanding of MATLAB correlation function, the transformation from highorder linear differential equations to differential equations and the solution are realized, which intuitively embodies the thought of solving highorder differential equations of mathematical software of transforming higher order differential equations to differential equations. Keywords:Linear highorder ordinary differential,Linear differential equations,MATLAB I 目錄 中文 摘要 ............................................ I 英文摘要 ........................................... II .............................................. 1 常微分方程的背景和發(fā)展現(xiàn)狀 .................................. 1 本文主要解決的問題及所用方法 ................................ 2 課題成果及意義 .............................................. 2 ............................ 3 高階齊次線性微分方程 ........................................ 6 特征根是單根 ............................................ 7 特征根是重根 ............................................ 8 高階非齊次線性微分方程 ...................................... 9 常數(shù)變易法 ............................................. 10 比較系數(shù)法 ............................................. 12 拉普拉斯變換法 ......................................... 13 幾種可降階的微分方程的解法 ................................. 16 ........................................................ 20 齊次線性微分方程組的解的相關(guān)定理 ............................