常微分方程43高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法(已修改)
2025-05-27 05:30 本頁(yè)面
【正文】 2021/6/17 常微分方程 167。 微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法 2021/6/17 常微分方程 一、可降階的一些方程類型 n階微分方程的一般形式 : 0),( )(39。 ?nxxxtF ? 1 不顯含未知函數(shù) x, 或更一般不顯含未知函數(shù)及其直到 k1(k1)階導(dǎo)數(shù)的方程是 )(0),( )()1()( ?? nkk xxxtF ?階方程的則可把方程化為若令 knyyx k ?? ,)()(0),( )(39。 ?? knyyytF ?若能求得 ()的通解 ),(1 knccty ?? ??對(duì)上式經(jīng)過(guò) k次積分 ,即可得 ()的通解 即 ),(1)( knk cctx ?? ??為任常數(shù)這里 nn cccctx ,),( 11 ????2021/6/17 常微分方程 解題步驟 : 則方程化為令 ,)( yx k ?第一步 : 0),( )(39。 ?? knyyytF ?第二步 : 求以上方程的通解 ),( 1 knccty ?? ??即 ),(1)( knk cctx ?? ??第三步 : 對(duì)上式求 k次積分 ,即得原方程的通解 為任常數(shù)這里 nn cccctx ,),( 11 ????)(0),( )()1()( ?? nkk xxxtF ?2021/6/17 常微分方程 解 令 ,44ydtxd ? 則方程化為 01 ?? ytdtdy這是一階方程 ,其通解為 ,cty ?即有 ,44ctdtxd ?對(duì)上式積分 4次 , 得原方程的通解為 ,54233251 ctctctctcx ?????例 1 .01 4455的通解求方程 ??dtxdtdtxd2021/6/17 常微分方程 2 不顯含自變量 t的方程 , 一般形式 : )(,0),( )(39。 ?nxxxF ?,39。 作為新的自變量而把作為新的未知函數(shù)此時(shí)以 xxy ?,ydtdx ?因?yàn)? ?dtdy?22dtxddxdy ?dtdx ,dxdyy3232d x d d xd t d t d t?dtd?)( dxdyydxdxdyyd )(?dtdx,222dxydy?2)(dxdyy?2021/6/17 常微分方程 用數(shù)學(xué)歸納法易得 : 來(lái)表達(dá)可用 )(, )1()1()( nkdxyddxdyyxkkk ????將這些表達(dá)式代入 ()可得 : 2222( , , , ( ) , ) 0d y d y d yF x y y y yd x d x d x??即有新方程 0),( )1()1(???nndxyddxdyyxG ?它比原方程降低一階 2021/6/17 常微分方程 解題步驟 : 第一步 : 原方程化為自變量為新的為新的未知函數(shù)并令,39。 xyxy ?0),( )1()1(???nndxyddxdyyxG ?第二步 : 求以上方程的通解 ),( 11 ?? nccxy ??第三步 : 解方程 ),( 11 ?? nccxdtdx ??即得原方程的通解 2021/6/17 常微分方程 解 令 , 作為新的自變量并以 xydtdx ?則方程化為 02 ?? ydxdyxy從而可得 ,0?y 及 ,xydxdy ?這兩方程的全部解是 ,1 xcy ?例 2 .0)( 222的通解求方程 ??dtdxdtxdx再代回原來(lái)變量得到 ,1 xcdtdx ?所以得原方程的通解為 12 ,ctx c e?2021/6/17 常微分方程 3 已知齊線性方程的非零特解 ,進(jìn)行降階 1( 1 ) 0x
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