常微分方程43高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法-在線(xiàn)瀏覽
2025-07-14 05:30本頁(yè)面
【正文】 ? ? ?? 全為021, , , ,kzz ?1故z 線(xiàn)性無(wú)關(guān)因此 ,對(duì) ()仿以上做法 , 1 ,kz udt?? ?令z2un則 可 把 方 程 化 為 關(guān) 于 的 階 線(xiàn) 性 方 程2021/6/17 常微分方程 ( 2 ) ( 3 )12( ) ( ) 0 , ( 4. 68 )nn nu c t u c t u?? ?? ? ? ?,k且 可 () 的 2 個(gè) 線(xiàn) 性 無(wú) 關(guān) 的 解39。 ( 1 )0 0 0 0( ) , ( )y x y y x y?? 的情況用級(jí)數(shù)表示解 ? 0 0)x ?( 不失一般性, 可設(shè)2021/6/17 常微分方程 定理 10 , ( 4 . 7 2 )p x q x xxR ?若 方 程 () 中 系 數(shù) () 和 () 都 可 展 成 的冪 級(jí) 數(shù) , 且 收 斂 區(qū) 間 為 則 方 程 有 形 如0, ( 4 . 7 3 )nnny a x???=.xR ?的 特 解 , 也 以 為 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 區(qū) 間2021/6/17 常微分方程 定理 11 2( ) ( )( ) ( ), ( 4. 72 )p x q xx p x x q xxR ?若 方 程 () 中 系 數(shù) 和 都 具 有 這 樣 的性 質(zhì) , 即 和 均 可 展 成 x 的 冪 級(jí) 數(shù) , 且 收 斂 區(qū)間 為 則 方 程 有 形 如00, ( 4 . 7 5 )nnnnnny x a x a x???????????0 0,.axR???的 特 解 , 這 里 是 一 個(gè) 待 定 常 數(shù) , 級(jí) 數(shù) () 也 以為 收 斂 區(qū) 間2021/6/17 常微分方程 例 4 39。2 4 0 ( 0 ) 0 ,.x y y yy? ? ? ?求方程y 滿(mǎn)足初始條件(0)=1 的解解 設(shè)級(jí)數(shù) 1 nna a x a x? ? ? ?0y=為方程的解 , ( 1 , 2 , )ai ?i這 里 是 一 個(gè) 待 定 常 數(shù) ,由初始條件得 : 10 , 1 。k對(duì)一切正整數(shù) 成立2021/6/17 常微分方程 故方程的解為 5 2 132 ! !kxxxxk?? ? ? ? ?y=422( 1 )2 ! !kxxxxk? ? ? ? ? ?2xxe?2021/6/17 常微分方程 例 5 22 2 22( ) 0 ( 4 .7 4 ).d y d yx x x n yd x d xn? ? ? ?求 解 n 階 Bessel 方 程這 里 為 非 負(fù) 常 數(shù)解 將方程改寫(xiě)為 2 2 2221 0d y d y x n yd x x d x x?? ? ?易見(jiàn) ,它滿(mǎn)足定理 11條件 ,且 2 2 2( ) 1 , ( )x p x x q x x n? ? ?,11xx ? ? ? ? ? ?按 展成的冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為由定理 方程有形如2021/6/17 常微分方程 0, ( 4 .7 5 )knky a x ????? ?0 0,a ??的 解 , 這 里 是 一 個(gè) 待 定 常 數(shù) ,將 ()代入 ()中 ,得 220kkx a x ???????? k( + k ) ( + k 1 ) 10kkx a x ??????? ? k( + k )220( ) 0kkx n a x ????? ? ?? kx比較 的同次冪系數(shù)得2021/6/17 常微分方程 220 ( ) 0an? ??221 [ ( 1 ) ] 0an? ? ? ?22 2[ ( ) ] 0 , 2 , 3 ,kka k n a k? ?? ? ? ? ?()?????a ?0因 為 0, 22 0,n? ??則有 ,n? ??從而,n? ?為確定起見(jiàn)暫令 由 ()得
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