[理學(xué)]第3節(jié)高階微分方程-在線瀏覽
2025-01-25 01:04本頁(yè)面
【正文】 321 xc xCCy ??求微分方程 xxyyy 3e96 ?????? 的通解 . 因?yàn)?3?r 是二重特征根 , 解得 0,61 ?? BA , 所以特解 xxy 33 e61? , 從而方程的通解為 xx xxCCy 33321 e61e)( ??? . 例 10 代入方程 , 得 xBAxxy 22 e)( ??所以設(shè)特解為 ,e)( 223 xBxAx ??,26 xBAx ??28 注意： 實(shí)際計(jì)算時(shí)，只要將 23)( BxAxxQ ?? 代入 )()()2( 2 xPQbarrQarQ m?????????現(xiàn)即 ,)()( xPxQ m???即得 .26 xBAx ??這樣比代入原方程要簡(jiǎn)便得多 . 解 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0962 ??? ?? 特征根 ，32,1 ??.e)( 321 xc xCCy ??求微分方程 xxyyy 3e96 ?????? 的通解 . 因?yàn)?3?r 是二重特征根 , 例 10 xBAxxy 22 e)( ??所以設(shè)特解為 ,e)( 223 xBxAx ??29 解 求微分方程 xyyy ?e44 ?????? 的通解 , 1 ）若 2??? , 則設(shè)特解為 xAxy 22 e ?? , 其中 ? 為實(shí)數(shù) . 代入原方程 , 得 21?A , 即特解為 xxy 22 e21 ?? , 此時(shí)原方程的通解為 xx xxCCy 22221 e21e)( ?? ??? ； 例 11 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0442 ??? ?? 特征根 ，22,1 ???.e)( 221 xc xCCy ???,)( 2AxxQ ? ,)( xPQ m??? 12 ?A30 2 ）若 2??? , 則設(shè)特解為 e xyA ?? , 代入原方程 , 得 2)2(1???A , 即特解為 xy ??e)2(12?? , xyyy ?e44 ??????.e)2( 1e)( 2221 xxxCCy ?? ???? ?此時(shí)原方程的通解為 31 型 s i nc o s)(.2 xNxMxf ?? ??可以證明 ,方程 (1)具有如下形式的特解 : )s i ncos( xBxAxy k ?? ????????.1。0是特征根不是特征根iik??是待定系數(shù)，其中 BA ,32 解 求微分方程 xyyy 2s i n1022 ?????? 的通解 . 因?yàn)? 2?? , ii 2??? ? 不是特征根 , 故設(shè)特解為 例 12 ，xBxAy 2s i n2c o s ??，xxBAxBA 2s i n102s i n)24(2c o s)42( ??????所求 通解為 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0222 ??? ?? 特征根 ，i??? 12,1?.)s i nc o s(e 21 xCxCy xc ?? ?代入原方程 ,得 ?????????1024042BABA.2s i n2c o s2)s i nc o s(e 21 xxxCxCy x ???? ?,12 ????????BA33 解 求微分方程 xyy 2s i n104 ???? 的通解 . 因?yàn)? 2?? , ii 2??? ? 是特征根 , 故設(shè)特解為 例 13 ，)2s i n2c o s( xBxAxy ??，xxAxB 2s i n102s i n42c o s4 ??所求 通解為 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,042 ???特征根 ，i22,1 ???.2s i n2c o s 21 xCxCy c ??代入原方程 ,得 ??????10404AB.2c os252s i n2c os 21 xxxCxCy ???,025 ???????BA34 定理 5 (非齊次線性方程的疊加原理 ) 設(shè) )(),( 21 xyxy 分別是非齊次線性 方程 則 )()( 21 xyxy ? 為非齊次方程 和 的特解 , )(1 xfbyyay ??????)(2 xfbyyay ??????)()( 21 xfxfbyyay ???????的一個(gè)特解 . 35 .2c o sc
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