【正文】 _ _ __ 階微分方程；4 、一個二階微分方程的通解應(yīng)含有 ___ _ 個任意常數(shù) .二、確定函數(shù)關(guān)系式 )s i n (21 CxCy ?? 所含的參數(shù) , 使 其滿足初始條件 1???xy , 0?? ??xy .練 習(xí) 題 四、已知函數(shù) 1???? ? xbeaey xx , 其中 ba , 為任意常 數(shù) , 試求函數(shù)所滿足的微分方程 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 14 練習(xí)題答案 一、 1 、 3 ； 2 、 2 ； 3 、 1 ； 4 、 2.二、 .2,121??? CC三、 02 ??? xyy .四、 xyy ????? 1 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 15 第二節(jié) 一階微分方程 一、可分離變量的微分方程 二、齊次方程 三、一階線性微分方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 16 一、可分離變量的微分方程 dxxfdyyg )()( ?可分離變量的微分方程 . 5422 yxdxdy ?例如 ,2 254 dxxdyy ?? ?解法 設(shè)函數(shù) )( yg 和 )( xf 是連續(xù)的 ,? ?? dxxfdyyg )()(設(shè)函數(shù) )( yG 和 )( xF 是依次為 )( yg 和 )( xf 的原函數(shù) , CxFyG ?? )()( 為微分方程的解 . 分離變量法 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 17 例 1 求解微分方程 .2 的通解xydxdy ?解 分離變量 ,2 xdxydy ?兩端積分 ,2?? ? xdxydy12ln Cxy ??.2 為所求通解xCey ??典型例題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 18 例 2 衰變問題 : 衰變速度與未衰變原子含量 M 成正比 , 已知 00 MM t ?? , 求衰變過程中鈾含量)( tM 隨時間 t 變化的規(guī)律 . 解 ,dtdM衰變速度 由題設(shè)條件 )0( 衰變系數(shù)????? MdtdM dtMdM ???,?? ??? dtMdM00 MM t ??代入,lnln CtM ???? ,tCeM ???即00 CeM ?得 ,C?teMM ???? 0 衰變規(guī)律 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 19 思考題 求解微分方程 .2c os2c os yxyxdxdy ????思考題解答 ,02co s2co s ????? yxyxdxdy,02s i n2s i n2 ?? yxdxdy ,2s i n2s i n2?? ?? dxxydy2co t2cs clnyy ? ,2cos2 Cx ?? 為所求解 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 20 一、求下列微分方程的通解 : 1 、 0t a ns e ct a ns e c 22 ?? x d yyy d xx ； 2 、 0)()( ???? ?? dyeedxee yyxxyx ； 3 、 0)1( 32 ??? xdxdyy . 二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解 : 1 、xdxyy d yx s inc o ss inc o s ?,40???xy ； 2 、 0s i n)1(c o s ??? ? y d yey d x x,40???xy . 練 習(xí) 題 練習(xí)題答案 一、 1 、 Cyx ?t a nt a n ； 2 、 Cee yx ??? )1)(1( ； 3 、 Cxy ??? 43 3)1(4 . 二、 1 、 xy c o sc o s2 ?； 2 、 ye x c o s221 ?? . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 21 二、齊次方程 )( xyfdxdy ?形如 的微分方程稱為 齊次方程 . ,xyu ?作變量代換 ,xuy ?即代入原式 ,dxduxudxdy ???),( ufdxduxu ??.)( x uufdxdu ??即 可分離變量的方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 22 例 1 求解微分方程 ( 1 c o s ) c o s 0 .y y yd x d yx x x? ? ?，令 xyu ? ，則 u d xxdudy ??( 1 c o s ) c o s ( ) 0 ,u u d x u u d x x d u? ? ? ?,cos xdxu du ?? ,lns i n Cxu ???.lns i n Cxxy ???微分方程的通解為 解 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 23 2222yxyxxyydxdy????,1222????????????????xyxyxyxy,xyu ?令 ,u d xxdudy ??則,1 2 22uuuuuxu??????.2 222 xyy dyyxyx dx ????例 2 求解微分方程 解 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 24 ,lnlnln21)2l n(23)1l n( Cxuuu ??????.)2(123 Cxuuu ???微分方程的解為 .)2()( 32 xyCyxy ???,]1122)121(21[ xdxduuuuu ???????上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 25 利用變量代換求微分方程的解 23 ( ) .dy xydx ??例 求 的 通 解解 ,uyx ??令 1?? dxdudxdy 代入原方程 21 udxdu ?? ,a r c t a n Cxu ??解得得代回 ,yxu ?? ,)a r c t a n( Cxyx ???原方程的通解為 .)t a n ( xCxy ???上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 26 思考題 方程 ? ? )()()(20 22 xxydttyttyx ????是否為齊次方程 ? 思考題解答 方程兩邊同時對 求導(dǎo) : x,2 22 yxyyxy ?????,22 yyxyx ???? ,12xyxyy ??????????原方程 是 齊次方程 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 27 一、 求下列齊次方程的通解 : 1 、0)(22??? x y d ydxyx； 2 、 0)1(2)21( ???? dyyxedxeyxyx. 二、 求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解 : 1 、1,02)3(022?????xyxy dxdyxy； 2 、,0)2()2(2222?????? dyxxyydxyxyx 11??xy . 練 習(xí) 題 練習(xí)題答案 一、 1 、 )ln2(22 Cxxy ?? ； 2 、 Cyex yx?? 2 . 二、 1 、 322 yxy ?? ； 2 、 yxyx ??? 22 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 28 )()( xQyxPdxdy ??一階線性微分方程 的標(biāo)準(zhǔn)形式 : ,0)( ?xQ當(dāng) 上方程稱為 齊次的 . 上方程稱為 非齊次的 . ,0)( ?xQ當(dāng)三、一階 線性微分方程 例如 ,2xydxdy ?? ,s i n 2ttxdtdx ??,32 ??? xyyy ,1c o s ??? yy線性的 。 22 xxexyyy ????解 ,21 12 ????? yxexyy x,2)1(1 yyz ?? ??令 ,2 dxdyydxdz ?則,2 2xxexzdxdz ???? ][ 22 2 Cdxexeez x d xxx d x ???? ? ??所求通解為 ).2(22 2 Cxey x ?? ?上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 37 。 yxdxdy ??解 ,uyx ??令 ,1?? dxdudxdy則代入原式 ,11 udxdu ??分離變量法得 ,)1l n( Cxuu ????,代回將 yxu ?? 所求通解為 ,)1l n ( Cyxy ???? 11 ??? yeCx y或另解 .yxdydx ??方程變形為上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 39 思考題解答 yyxyydydxc o ss i n2s i nc o s ??,t a n2s i n yxy ??? ? ,2s i nt a n yxydydx ????? ?? ??? ? Cdyeyex yy c o slnc o sln 2s i n?????? ?? ? Cdyyyyyc o sc o ss i n2c o s ? ?.c o s2c o s yCy ??思考題 求微分方程 的通解 . yxyy yy s i n2s i nc o s c o s ???上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 40 一、求下列微分方程的通解 : 1 、xexyys i nco s???? ； 2 、 0)ln(ln ??? dyyxy d xy ； 3 、 02)6(2??? ydxdyxy .二、 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解 : 1 、 4,5co t2co s??????xxyexydxdy； 2 、 .0,132132?????xyyxxdxdy練 習(xí) 題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 41 三、設(shè)有一質(zhì) 的量為 m 質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動從速度等于零的時刻起 , 有一個與運(yùn)動方向一致 , 大小與時間成正比 ( 比例1k系數(shù)為 ) 的力作用于它 , 此外還受一與速度成正比 ( 比例2k系數(shù)為 ) 的阻力作用 , 求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度與時間的函數(shù)關(guān)系 .四、 求下列伯努利方程的通解 :1 、212121yxyxy???? ；2 、 0)]ln1([3???? dxxxyyxdy .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 42 五、 用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的方程 , 然后求出通解 :1 、 11???yxdxdy；2 、 1co ss i n2s i n)1(s i n222???????? xxxyxyy ；3 、xyxyxdxdy??)(s i n12.六、 已知微分方程)( xgyy ???, 其中???????0,010,2)(xxxg , 試求一連續(xù)函數(shù))( xyy ?, 滿足條件0)0( ?y, 且在區(qū)間),0[ ??滿足上述方程 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 43 練習(xí)題答案 一、 1 、 xeCxy s i n)( ??? ； 2 、 Cyyx ?? 2lnln2 ； 3 、 2321yCyx ?? . 二、 1 、 15s i n c os ?? xexy ； 2 、1133 22??? xexxy . 三、 )1(022121tmkekmktkkv???? . 四、 1 、 Cxxy ?? ； 2 、 )32( l n32322??? xxCyx. 五、 1 、 Cxyx ???? 2)( 2； 2 、Cxxy????1s i n1 ； 3 、 Cxxyxy ??? 4)2s in (2 . 六、???