【正文】 = p/u — kv?.習 常數變易公式：一階線性非齊次方程cb/dt + p⑴0； = 的一切解可以表示為洲=m {c+Jlq{s)/h{s)ds)其中h[t)是對應的線性齊次方程cLc/di + p(t)。+ l)edy + (e 2)dx = 0，進而化為(x + l)d(e — 2) + (e 2)d(x + 1) = 0,即 d[(。 = 0M — ajy 一 0 時，方程化為+ l/x)dx + (l/y2 1/y) dy = 0.積分得通解l/a。 tan y dx + (1 — e工）sec? y dy = 0, y⑴=7r/4M將原方程化為3tanyd(e174。 — l)?tany = c,即 tany = c (e? 1)?,初值問題的解為 y = arctan[[e? 1)?/ (e — if].8) x\J\ + y2 + yVl + = 0, y (0) = 1答：通解為 a/1 + 。 (1 y) dy = 0, y (2) = 0答：初值問題的_為y = 0 (不能從通解ln((a。y (1 + 。39。2),積分得通解為5) p = e?y(1 + X?){1 + y2) = cx?,初值問題的解為（1 + X?){1 + y2) = 2a。2 +—化為爹量分離方程后求解：1) (x y) dx — (x — y) dy = 0解：將方程兩邊乘以2，再重新組合化為2{xdx + ydy) 2 {xdy ydx) = 0,可見，可湊成微分d + y2) — 2(x? + y?) darctan(y/a。2 + 得：d(x? + y?)/{x? + y2) — 2darctan(y/x) = 0，積分得ffl解：ln(x2 + ？_ 2arctan(y/x) = c,(注：本題是齊次方程，也可按齊次方程的通常解法求解，但較繁).2) da； + (a。得：d{y/x) + dy/y = 0，積分得解：y/x + ln(y/c) = 0,或化為y = cexp(y/x)。求導得關系式dy/da。它們不包括在通解中，分別對應于= 0和= 2 (注：與U = 1對應的解y = 。rw/(l + In w)] = 0,代回原變量得通解cy = 1+ln?lnx,特y = x/e 4含在通扁中.6) dy/dx = {2x — y \ l)/{x — 2y 1)解：將方程化為微分形式并分組得：[{2x + l)dx+ {2y — 1) d?] (xdy\ ydx) = 0，進而得d(x? y) d{xy) = 0, |R分得ffl解：?(注:本題也可化為 g=y++i。 + 3y，故 du/dx = 2 + 3dy/dx = 2 + 3(u + 4)/(2w + 5),即cki)da。 + 21y + 22 = 0，7171。 + 21y + 22 = cexp(7(2y — x)/3),特解 14。 = (x + 4y + 1)2 + 2，故令 = a: + 4y + 1，從du/dx = 1 + 4dy/dx = 1 + 4(u? + 2) = Av? + 9,即 du/da。 + c，代[?原變量整理得j?_解 arctan((2。 + 8y + 2)/3) = 6x + c.Q、r] 7/ /r] T ? f 7/? — / f ?T?/? U \、解：將原方程化為 Ci(y3)/d:r = 3[(y3)2 — 2x2]/(2xy3 +得齊次方程 clu/cLc = 3(t|2 2x?)/{2xv + a:。 = u + xdu/dx = Z{v? 2)/{2u + 1).即得變量分離方程xdu/dx = (u 3)(u + 2)/(2u + 1)，分離務量得[7/(u3) + 3/(u+2)]du = Mx/ 71n |u —3| + 31n |u+2| = 51n(cx).k 回原變量得通if (y? 3x)?(y3 + 2xf = cx??.勝:）??應年 u = 3 左u = 2的特解包含在通解中).10) dy/dx = (2a。?y + 2y? — y).解：將原方程化為d(y2)/d(x2) = [2(x2 — 1) + 3(y2 + 1)]/[3(?2 1) + 2{y? + 1)].從而可令w = a。+l|51n|u。解：取線性齊次方程dy/cLc 1 = 0的一個特解/I⑷=exp(x),應用常數變易公式得：y = exp(x) [c + f sin x exp(—x) dx] = cexp(x) — (sinx + cos x)/2.2) dx/dt = exp(2t) — 3x解：取對應的齊次方程的一個特解為/i(t) = exp(3t)，應用常數變易公式得：X = exp(—3t)[c + /exp(5t)dt] = cexp(—3t) Hexp(2t)/5.3) dy/dx — ny/x = exp(x)備 y = x?{c + exp(x)).4) dy/dx + (1 — 2x)y/x? — 1 = 0解：取對應的齊次方程的一個特解/i(x) = x2exp(l/x),應用常數變易公式得 y = x2exp(l/x)[c+/exp(l/a。2) + 2{x39。2)/dlny + 2。 + 1) = (x + 1)3參:y = c{x + l)2 + (x + 1)4/6.9)，略10) dy/dx + xy =解：是Bernoulli方程，當y / 0時，先將它化為線性方程d(y2)/dx = 2a。?y?)解：將自變量與因變量交換得Bernoulli方程g 將它化為線性方程dOr2)/dy = 2yx? 2y\從而應常數變易公式得通解：= cexp(y?) + 1 12) dy/dx = x~?{3x + exp(?))解：將方程化為線性方程dexp(i)/d:c + 3exp(W/。c2da。 + a。z:a。將方程分組為O/diT + a。c3 X 2y2) + d{xy) = 0，積分得通If: x 2y39。? cos{y/x) + 1] dx+ |x_i cos{y/x) — xy~39。,y) = y?sin(x/y) — yx~39。? s39。~? cos{y/x) — xy~39。?]dy=sin(y/a。r)(。(a。c) = U{x,y) = c，其中 U{x,y) = sm{y/x) cos{x/y) 1/y + x.減法二 ：將微芬；?程組合為[sinO/yj/ycLc 。c2)) + exp02)dy] 2。 = 0，湊微分得d(yexp(a。c2) = c,或解出顯函數形式:y = (c + x2)exp(x2).7) (exp(x) + 3y2) dx + 2xy dy = 0M將程分成（3y2 ckc + 2。 = 0,湊微分得；r2d(a。 = 0,可見積奮自子可取為；r2，從而化成全微分方程 d(。2 exp(a；) dx = 0，積分得通解。)(x2—2a。)i d{x?y39。r，從而化成全恤分方程 12a。c2+a；) cl。2y2) = ?，積分得通解 3。r3+6a。9) {x + 2y) dx + a。+ {2ydx + xdy) = 0,湊微分得xdx + x~39。?y) = 0,可見積分自子可取為3。2y) = 0,積分得通解 a。y2d。?d{x/y) = 0,可見積分因子可取為jT2，從而化成全微分方程2a。c + d(。r) = 0，積務得通解+ 2 arctan(y/x) = c.12) 2xy~? dx + y_4(以2 — dy = 0.解：將方程化為[y3cl(。2d(y3)] d(yi) = 0,湊微分得d{y?x39。2 3y39。 —l)(y39。 = l，得通解y = a。 = 2，得通解 y = 2。 +解：引進參數P = y39。 = p, ⑴y = 2xp + a。求導后減去（1)式，得P，與a。? + dp/dx — p = 0,整理得(1 + 2ccp3)(p + 2xdp/dx) = 1 + 2xp? = 0，解出 p = —代入(2)式得I寺解 y = 3/4(4a。cdp/da。)2，入⑵式得通解：y = 2c(士。39。解：令dyAk。2 + (x + y) y39。 + x){y39。 = x,得通解y = x?/2 + c，由 y39。).5) y = 2xy39。方程可寫成參數形式y39。)2 — x?/2. (2)為消去變量y，將⑵式對a。的微分方程 2(p + x){dp/dx + 1) X p = 0,整理得（a。 + y39。是Clairaut方程，故通解為y = ca。 + 1 2c，即c = Or + l)/2,代入通解表達式得特解y = (x + 1)2/4.7) y39。 + 2y = 0解：引進參數p = y39。 = P, ⑴1 2y = xp p , (2)為消去變量y,將⑵式對a；求導后減去（1)式，得P，與a。一一? = 0，?盧0時，將它改寫成以?為自變量的線性方程 daj/dp = x/{2p) 1/2，它的通解是 x = c(177。2 = 1ftf：令a：； = sini，t e [7r/2,7r/2],得參數形式的微分方程X = sint, y39。dx = 土 cos?idt，積分得參數形式的通解：X = sint, y = 177。3 + y3 — gyy39。t,代入方程得y39。 = 3t/(l + (3)，從前者得特解y = 0，從后者得參數方程組V = 3tV(l +力3)，y39。 = (1 + t?)/(3t) dy = [1 + 3/(1 + t?)] dt=[1 + 1/(1 + t)it l/2)/(i2t+l) + 3/(2(?2 t + 1))] dt.積分得參數形式的通解：a。 (1 + t)arctan (亡廠）+3?21 + t310) y = exp(y39。2解：引進參數P = y39。的微分方程故(exp(p)p2 + 2pexp(p))p39。) = 0，由P = 0, iXA (2)式得特解 y = 0，由（1 exp(p)(2 + py) = 0 得參數形式的通解X = (p + 1) exp(p) + c, y = exp(p).⑷ 0在(0, +oo)上連續(xù)且/ (x) j /⑷di = 1, a。Jo J [x)—p ((:))，積分得/2 (x) = 2$ + c,代入原方程得c = 0，故/⑷=解：將方程化為f f {t) dt = 兩邊對a；求導得：f{x)=:39。⑴.解：令t = 0，S = 0，得 a。 (0) [l + a:2⑷]，積分得arctan(x) = a/(0)t + c,艮fl x (t) = tan {x39。⑴= tan(。(0)t).，使得在它上面任一點的切線介于坐標軸間的部分被切點所平分.解：設在直角坐標系o:Oy中曲線的方程為y = y{x),在點Or,y⑷)的切線與a；軸，y軸組成的三角形中，由題意三角形的高等于2|y|，底等于2|4因此a。(0)存在，且滿足條件a。(0) = 0，或 a。r(0) = 0 時，x{t) = x{t)x{0) = 0，故只考慮 a。⑴滿足微分方程a：39。 {0)x{t),積分x{t) = ce? (D)t，再由a。y)，/u(xy),的積分因子的充要條件.答：因為 M(。y)，II (xy), /x (a:2 177。c，y的連續(xù)可微的m次齊次函數，m ? — (x,y) = xM {x,y) + yN {x,y),證明10咖和1上:w(:)x39。y,xy,x 177。,?/)=…土 沒)是方程 M (x,y) dx + {x, y) dy = 0 的積分因證：1)因M(a。r，y的m次齊次函數，即對于任何i〉0，成立恒等式M(te，iy) E嚴M(。i {tx,ty) + yM2 {tx,ty) = mt饑―丄M {x, y),其中 {tx, ty)? {tx, ty)分別表示函數對第一、 = 1即,y)的恒等式.2)因m / 1，原微分方程等價于（1 + m) (Mdx + Ndy) = 0，又因Md。r + 7Vdy = 0為全微分方程，有Mj? = iVi?，所以dU = M (x, y) dx + M (x, y) dy + {xM?； + yMy) dx + {xN? + yNy) dy,再因M(。c，y)都是a。, y) =