常微分方程初步-在線瀏覽
2024-11-05 15:15本頁面
【正文】 方程的階。于是我們引進(jìn)微分方程的定義：含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的等式稱為微分方程。設(shè)t時(shí)刻物體的位置為，根據(jù)題意，只受重力的影響，力的方向與y軸相同，則即這是一個(gè)含有一階導(dǎo)數(shù)的模型引例3（火車制動(dòng)）：一火車在直線軌道上以的速度行駛，當(dāng)制動(dòng)時(shí)，火車獲得負(fù)加速度為，求制動(dòng)后要經(jīng)過多少時(shí)間才能剎住火車？解：設(shè)火車開始制動(dòng)后內(nèi)行駛了，由題意得到這是一個(gè)含有二階導(dǎo)數(shù)的模型定義描述從以上兩個(gè)例子可以看到，在實(shí)際問題中，有時(shí)只能從含有未知導(dǎo)數(shù)的等式中求未知函數(shù)。第七章 常微分方程初步第一節(jié) 常微分方程引例1(曲線方程)：已知曲線上任意一點(diǎn)M（x,y）處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)4倍，且過（1，3）點(diǎn)，求此曲線方程解：設(shè)曲線方程為，則曲線上任意一點(diǎn)M（x,y）處切線的斜率為根據(jù)題意有這是一個(gè)含有一階導(dǎo)數(shù)的模型引例2(運(yùn)動(dòng)方程)：一質(zhì)量為m的物體，從高空自由下落，設(shè)此物體的運(yùn)動(dòng)只受重力的影響。試確定該物體速度隨時(shí)間的變化規(guī)律解：物體開始下落點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，y軸鉛垂向下。如引例1中，方程是含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程為常微分方程，未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程為偏微分方程。如引例1中，方程是一階微分方程；引例2中，方程是二階微分方程；引例3中，方程是二階微分方程. 如果微分方程中未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次，且不含這些變量的交叉項(xiàng)如，稱為線性微分方程。求微分方程的過程稱為解微分方程。在通解中，利用附加條件確定任意常數(shù)的取值，得到的不含任意常數(shù)的解稱為特解，這附加條件稱為初始條件。案例2（球體運(yùn)動(dòng)）在離地面高度為處，以初速垂直向上拋一小球，若不考慮空氣阻力，求此球的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。引例2（招生情況）：某校1995年招生人數(shù)為5000人，如果該校能保持每年3%的相對(duì)增長率，問到2010年的招生情況如何？解：設(shè)第t年該校招生為y（t），t=0時(shí)代表1995年，從1995年起，y（t）相對(duì)增長率保持為3%，即這是一個(gè)帶有初始條件的一階微分方程。實(shí)驗(yàn)表
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