常微分方程的數(shù)值解法-在線瀏覽
2024-10-02 20:43本頁面
【正文】 用梯形法則求解，需要解含有yn+1的方程式，這常常很不容易。這個方法就叫改進(jìn)歐拉方法。可以證明，如果有界，則只要h取得適當(dāng)小，上述序列必定收斂。當(dāng)步長h取得適當(dāng)時，歐拉方法算出的值已是較好的近似，因此改進(jìn)歐拉法收斂很快，通常只需二、三次迭代即可。通常把（）叫做預(yù)報校正公式，其中第一式叫預(yù)報公式，第二式叫校正公式。 寫出y(xn+1)的泰勒展開式為 由歐拉法得 兩式相減得 即歐拉法的截斷誤差為0(h2)，當(dāng)h 174。 對于改進(jìn)的歐拉方法，我們以迭代一次的預(yù)報校正格式()’為例來說明?？梢姼倪M(jìn)的歐拉方法比歐拉法的階提高了。 解： （1）用歐拉法計算公式如下： （2）用迭代一次的改進(jìn)歐拉法計算公式如下： 本題的精確解為，可用來檢驗近似解的精確程度。2 龍格――庫塔法 由上節(jié)知道，截斷誤差的階是衡量一個方法精度高低的主要依據(jù)。本節(jié)介紹的泰勒級數(shù)法和龍格――庫塔法就是基于這種思想構(gòu)造出來的。 導(dǎo)出用三階泰勒級數(shù)法解方程 的計算公式 解:因 故 而 其中表示f(x, y)對x的k階偏導(dǎo)數(shù)在x = xn點上的值。但是須計算y(x)的各階導(dǎo)數(shù)，這當(dāng)f (x, y)的表達(dá)式復(fù)雜時是很繁瑣的。另外，用上述級數(shù)法計算表頭時，還可以得到選擇步長h的信息。因為，當(dāng)條件（A）不滿足時，達(dá)不到指定精確度，而當(dāng)條件（B）不滿足則表明h過小。 2．龍格――庫塔法 從理論上講，只要函數(shù)y = y(x)在區(qū)間[a, b]上充分光滑，那么它的各階導(dǎo)數(shù)值y(k)(xn)與函數(shù)y(x)在區(qū)間[a, b]上某些點的值就相互有聯(lián)系，就是說，函數(shù)值可用各階導(dǎo)數(shù)值近似地表示出來，反之，各階導(dǎo)數(shù)值也可用函數(shù)在一些點上值的線性組合近似地表示出來。 為了導(dǎo)出龍格――庫塔法的一般公式，我們?nèi)∪缦碌木€性組合形式， （）其中 （）即 而w1, w2,…, wv；b1 =0, b2, b3,…, bv；a21, a31, …, avv1除b1=0外均為待定系數(shù)。 顯然，當(dāng)g = 1時，（）式就是歐拉公式。將k1, k2在同一點（xn, yn）泰勒展開，則有 （）將()代入()并與y(xn+h)在xn點的泰勒展開式： 逐項比較，令h、h2項的系數(shù)相等，便得到 把b2作為自由參數(shù)來確定w1和w2，如取b2 = 1，則w1 = w2 = ，a21 = 1，這時（）正好就是改進(jìn)的歐拉方法，截斷誤差的階為0(h3)。這時參數(shù)滿足下列條件 （） （）比較簡單的一組解為： b2 =，b3 = 1，a21 = ，a31 = 1，a32 = 2，w1 = ，w2 = ，w3 = 將它代入（）得 ()這就是三階龍格――庫塔公式。 通常人們所說的龍格――庫塔法是指四階而言的。 龍格――庫塔法有精確度高、收斂、穩(wěn)定（在一定的條件下）計算過程中可以改變步長等優(yōu)點，但仍需計算f (x, y)在一些點的值，如四階龍格――庫塔法每計算一步需要算四次f (x, y)的值，這就給實際計算帶來一定的復(fù)雜性。 用龍格――庫塔法解初值問題 y’ = x2 – y (0≤x≤1) y(0) = 1 （） 解 ： 取 h = ，由（）得 把初始條件x0 = 0，y0 = 1，代入,得k1 = 1，k2
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