【正文】 2022/3/13 99 典型例題 .)c o ss i n()s i nc o s( dyxyxxyyxdxxyyxyxy ???求通解例 1 解 原方程可化為 ),c oss ins inc os(xyxyxyxyxyxyxydxdy???上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 100 ,xyu ?令 ., uxuyuxy ????? 代入原方程得 ),c o ss in s inc o s( uuu uuuuuxu ?????,c o s2 c o ss in xdxduuu uuu ??分離變量 兩邊積分 ,lnln)c o sl n ( 2 Cxuu ?? ?,c os 2xCu ??,c o s 2xCxyxy ?? 所求通解為 .c os Cxyxy ?上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 101 .32 343 yxyyx ???求通解例 2 解 原式可化為 ,32 342 yxyxy ???,32 23134xyxyy ??? ??即,31?? yz令 原式變?yōu)? ,323 2xzxz ????,3 2 2xzxz ????即對(duì)應(yīng)齊方通解為 ,32Cxz ?一階線性非齊方程 伯努利方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 102 ,)( 32xxCz ?設(shè) 代入非齊方程得 ,)( 232 xxxC ??? ,73)( 37CxxC ?????原方程的通解為 .73 323731xCxy ?????利用常數(shù)變易法 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 103 .212yyy ?????求通解例 3 解 .x方程不顯含, dydPPyPy ?????令 代入方程，得 ,212yPdydPP ??,1 12 yCP ??解得，,11 ???? yCP ,11 ??? yCdxdy即故方程的通解為 .12 211CxyCC ????上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 104 .1)1()1(,2 ?????????? yyexeyyy xx求特解例 4 解 特征方程 ,0122 ??? rr特征根 ,121 ?? rr對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 .)( 21 xexCCY ??設(shè)原方程的特解為 ,)(2* xebaxxy ??,]2)3([)( 23* xebxxbaaxy ?????則,]2)46()6([)( 23* xebxbaxbaaxy ????????上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 105 代入原方程比較系數(shù)得將 )(,)(, *** ??? yyy,21,61 ??? ba原方程的一個(gè)特解為 ,2623* xx exexy ??故原方程的通解為 .26)(2321xxx exexexCCy ????,1)1( ?y? ,1)31( 21 ???? eCC,]6)1()([3221xexxCCCy ??????上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 106 ,1)1( ??y? ,1)652( 21 ???? eCC,31121 ??? eCC,6512 21 ??? eCC由 解得 ?????????,121,61221eCeC所以原方程滿足初始條件的特解為 .26])121(612[23xxx exexexeey ??????上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 107 .)(),(1)()(2此方程的通解（２）的表達(dá)式；（１），試求：的齊次方程有一特解為，對(duì)應(yīng)有一特解為設(shè)xfxpxxxfyxpy ?????例 5 解 （１） 由題設(shè)可得： ??????????),()1)((2,02)(223xfxxpxxxp解此方程組，得 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 108 .3)(,1)( 3xxfxxp ???（２） 原方程為 .31 3xyxy ?????，的兩個(gè)線性無關(guān)的特解程是原方程對(duì)應(yīng)的齊次方顯見 221 ,1 xyy ??是原方程的一個(gè)特解，又 xy 1* ?由解的結(jié)構(gòu)定理得方程的通解為 .1221 xxCCy ???上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 109 間．鏈條滑過釘子需多少時(shí)下垂１０米，試問整個(gè)邊的一邊下垂８米，另一上，運(yùn)動(dòng)開始時(shí)，鏈條一無摩擦的釘子一質(zhì)量均勻的鏈條掛在解 例 6 oxm8 m10 ,米鏈條下滑了經(jīng)過時(shí)間設(shè)鏈條的線密度為xt?則由牛頓第二定律得 ,)8()10(22gxgxdt xdm ?? ????.0)0(,0)0(,99 ???????? xxgxgx即上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 110 解此方程得 ,1)(21)( 3131??? ? tgtg eetx,8, ?x即整個(gè)鏈條滑過釘子代入上式得 )().809ln (3 秒?? gt上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 111 一、 選擇題 :1 、 一階線性非齊次微分方程 )()( xQyxPy ??? 的通解是 ( ). (A)??????])([)()(CdxexQeydxxPdxxP； (B)?????dxexQeydxxPdxxP )()()( ； (C)??????])([)()(CdxexQeydxxPdxxP； (D)??? dxxPcey)(.2 、方程yyxyx ????22是 ( ). (A) 齊次方程； (B) 一階線性方程； ( C) 伯努利方程； (D) 可分離變量方程 .測 驗(yàn) 題 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 112 3 、 2)1(,022??? yxdxydy的特解是 ( ). (A) 222?? yx ； (B) 933?? yx ； (C) 133?? yx ； (D) 13333??yx.4 、方程xy s i n????的通解是 ( ). (A)322121co s CxCxCxy ???? ； (B)322121sin CxCxCxy ???? ； (C)1c o s Cxy ?? ； (D)xy 2s i n2?.上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 113 5 、方程 0?????? yy 的通解是 ( ).(A)1c o ss i n Cxxy ??? ；(B)321c o ssin CxCxCy ??? ；(C)1c o ss i n Cxxy ??? ；(D)1s i n Cxy ?? .6 、若1y 和2y 是二階齊次線性方程 0)()( ?????? yxQyxPy的兩個(gè)特解 , 則 2211yCyCy ?? ( 其中21, CC 為任意常數(shù) )( )(A) 是該方程的通解； (B) 是該方程的解； (C) 是該方程的特解； (D) 不一定是該方程的解 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 114 7 、求方程 0)(2???? yyy 的通解時(shí) , 可令 ( ) . (A ) PyPy ?????? 則, ； (B )dydPPyPy ????? 則, ； (C)dxdPPyPy ????? 則, ； (D )dydPPyPy ?????? 則, .8 、已知方程 02?????? yyxyx 的一個(gè)特解為 xy ? , 于 是方程的通解為 ( ). (A)221xCxCy ?? ； (B)xCxCy121?? ； (C)xeCxCy21?? ； (D)xeCxCy???21 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 115 9 、已知方程 0)()( ?????? yxQyxPy 的一個(gè)特1y解為, 則另一個(gè)與它線性無關(guān)的特解為 ( ). A) ? ???dxeyyydxxP )(21121； B) ? ?? dxeyyydxxP )(21121； C) ? ???dxeyyydxxP )(1121； D) ? ?? dxeyyydxxP )(1121. 二、 求下列一階微分方程的通解 : 1 、 )1( l nln ???? xaxyxyx ； 2 、 033 ??? yxxydxdy； 3 、 022????。的特解，那么 ?? ? 21 yy上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 66 一、 驗(yàn)證21xey ? 及22xxey ? 都是方程0)24(42??????? yxyxy 的解 , 并寫出該方程的通解 .二、 證明下列函數(shù)是相應(yīng)的微分方程的通解 :1 、 ),(ln212221是任意常數(shù)ccxxcxcy ?? 是方程 0432?????? yyxyx 的通解；2 、 ),(2)(12121是任意常數(shù)cceececxyxxx????是 方程xexyyyx ?????? 2 的通解 .練 習(xí) 題 練習(xí)題答案 一、 2)( 21 xexCCy ?? . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 67 第五節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程 一、二階常系數(shù)線性齊次微分方程 思考題 二、二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 68 定義 )(1)1(1)( xfyPyPyPy nnnn ?????? ?? ?n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 0?????? qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 )( xfqyypy ??????二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 69 一、二階常系數(shù)齊次線性方程解法 特征方程法 ,rxey ?設(shè) 將其代入上方程 , 得 0)( 2 ??? rxeqprr ,0?rxe?故有 02 ??? qprr 特征方程 ,2 422,1qppr ????特征根 0?????? qyypy上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 70 ? 有兩個(gè)不相等的實(shí)根 ,2 421qppr ???? ,2422qppr ????,11 xrey ? ,22 xrey ?兩個(gè)線性無關(guān)的特解 得齊次方程的通解為 。c o ss i n 21 xCxCy ??通解解的圖象 : 微分方程的積分曲線 . 通解的圖象 : 積分曲線族 . 初始條件 : 用來確定任意常數(shù)的條件 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 9 過定點(diǎn)的積分曲線 。xCey ?通解,0???? yy 。上頁 下頁 返回 結(jié)束 2022/3/13 65 解的疊加原理 4定理( ) ( ) ( )()y P x y Q x y f xfx?? ?? ? ?設(shè) 非 齊 次 方 程的 右 端 是 幾 個(gè) 函 數(shù) 之 和 ，)()()()( 21 xfxfyxQyxPy ???????如分別是方程與而 ?? 21 yy)()()( 1 xfyxQyxPy ??????)()()( 2 xfyxQyxPy ??????就是原方程的