[工學(xué)]第5章_常微分方程-在線瀏覽
2025-03-08 12:01本頁(yè)面
【正文】 ????????? ??.)14()2( 39。32 cXuu ???故CxyyxxyXYu ????????? )34()32(,11 2代入得將三 .一階線性方程 一般形式 : )()( xQyxPdxdy ?? (2) :0)( ?xQ 0)( ?? yxPdxdy (3) 一階線性齊次方程 一階線性非齊次方程 :0)( ?xQ自由項(xiàng) 方程 (3)是可分離變量方程 , 其通解為 : ?? ? dxxPCey )(方程 (2)的通解 常數(shù)變易法 設(shè) (2)的通解 : ?? ? dxxPexCy )()( 代入方程 (2): ?????? ?? dxxPdxxP exPxCexCy )()( )()()( ??? dxxPexQxC )()()(CdxexQxC dxxP ???? ? )()()(則方程 (2)的通解 : ])([ )()( CdxexQey dxxPdxxP ???? ?? (4) 注 : 1. 一階線性非齊次方程的通解可用常數(shù)變易法或公式 (4) 計(jì)算皆可 。 3. ? ????? ?? dxexQeCey dxxPdxxPdxxP )()()( )(非齊次方程的特解 齊次方程的通解 非齊次方程 解的結(jié)構(gòu) 例 : xexydxdy x c os2 2??]c os[ 22 2 Cdxexeey x d xxx d x ????? ? ?]c o s[2 Cx d xe x ?? ? )( s i n2 Cxe x ??例 : 求方程 滿足初始條件 的特解 . ydxdyyx ?? )( 2 1| 3??xy將 y 視為自變量 ,可以變成關(guān)于 x 的線性方程 : yxydydx ?? 1 yyQyyP ??? )(,1)(][11Cdyyeex dyydyy ????? ? ???)( Cyy ??由 得 : 1|3??xy 2?C故所求特解為 : )2( ?? yyx四 .伯努利方程 一般形式 : )1,0(,)()( ??? nyxQyxPdxdy n當(dāng) n= 0 或 1時(shí) ,這是線性方程 . 當(dāng) 時(shí) ,可以化成線性方程 : 1,0?n兩端同除以 ,ny),()( 1 xQyxPdxdyy nn ?? ??),()()(1 1 11xQyxPdxydn nn???? ??令 ,1 nyz ?? 則 ).()1()()1( xQnzxPndxdz ????關(guān)于 z 的線性方程 求出通解后再還原回 y 例 : 2yyxy ???211 yxyxy ????兩端同除以 ,2yxyxyy11 12 ???? ??令 ,1?? yz,11 xzxz ???]1[11Cdxexez dxxdxx ????? ??)(1 Cxx ??代入 ,1?? yz 通解為 .cx xy ??五 .全微分方程 0),(),( ?? dyyxQdxyxP對(duì)于微分方程 ),( yxdUCyxU ?),(則通解為 全微分方程 注 : (1).當(dāng) P(x,y),Q(x,y)在單連域 D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,且 xQyP????? 時(shí) ,上述方程為全微分方程 . (2). DyxCdyyxQdxyxPyxU yyxx ???? ?? ),(,),(),(),( 00000(3). 對(duì)于非全微分方程 ,有時(shí)可以找到函數(shù) , 使得 ),( yx?0),(),(),(),( ?? dyyxQyxdxyxPyx ??全微分方程 積分因子 (4). 觀察法往往很實(shí)用 . 例 : 0)(2)( 2 ???? dyyxydxxyxQyyP?????? 2因?yàn)? 全微分方程 取 ,0,000 ?? yxCdyyxydxxyxU yx ????? ?? 00 )(2)(),(Cyxyx ????? 322 3221解法一 : 解法二 : 02)2(22 ???? dyyx d xx y d ydxy0)32()2()( 322 ???? ydxdxyd0)322( 322 ??? yxxydCyxyx ????? 322 3221例 : 0?? x d yy d x 非全微分方程 由于 2)( yx dyy dxyxd ?? 則 是積分因子 , 21yCyx ?同乘以積分因子并積分得通解 : xyx1,12易知 也是積分因子 例 : 0)1()1( ???? x d yxyy d xxy非全微分方程 變形 0)()( ???? x d yy d xxyy d xx d y0)()( 22 ??? ydyxdxyxxyd則 是積分因子 , 221yx0)( 22 ??? ydyxdxyx xyd .||ln1 Cyxxy ????注意 :其他類型的微分方程往往可以化成上述類型 例 : yyxy 2s i nc os1???視 x 為 y 函數(shù) ,可化成線性方程 yxydydx 2s i nc os ???通解為 : ]2s i n[ c osc os Cdyeyex y d yy d y ????? ? ?)s i n1(2s i n yce y ???思考 )(,1)1(,)()1()(),1[)(.111xyydtttyxdttyxxyxx求內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿足在設(shè)???????.e)(,e,e,0)()13()(39。)1(d)21(2ed)21(de)(2222224224d8t4d8420420204tttttttttttttfCfCtCtftttftftrrrfrrrftf??????????????????????????????????????????故代入上式得：式知：由得：解此一階線性微分方程求導(dǎo)并整理得：等式兩端同時(shí)關(guān)于，＝.)a r c t a n (,)1a r c t a n (,dd111dd)(1dd22222CyxyCxuuxuuuuxuyxuyxxy??????????????：故該微分方程的通解為等式兩端同時(shí)積分得：分離變量得：，－，得：令，把原式整理得：xyyxxy21d22 ???第三節(jié) 高階微分方程 一、可降階的微分方程 變量代換法 兩邊積分 : 連續(xù)積分 n次得出含有 n個(gè)任意常數(shù)的通解 . 1. 型方程 )()( xfy n ?)()( xfy n ?1)1( )( Cdxxfy n ?? ??再積分 : 21)2( ])([ CdxCdxxfy n ??? ???例 : xxy ?? s in)3(逐次積分得 : 122c os Cxxy ??????,6s i n 213CxCxxy ?????? 32214224c os CxCxCxxy ?????),( pxfp ??2. 型方程 ),( yxfy ????令 ,則 py ?? pdxdpy ?????方程變?yōu)?: 解出這個(gè)一階方程的通解 : ),( 1Cxp ??則原方程的通解為 : 21 ),( CdxCxy ?? ? ?例 : yyyx ????? ln令 ,則 py ??dxdpy ???ppdxdpx ln?方程變?yōu)?: dxxpp dp 1ln ?解得 :
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1