【正文】 2 ???? ?? 例 3 計(jì)算拋物線 y2?2x 與直線 y?x?4所圍成的圖形的面積 。 x y O y 22 xaab ?? S1 則橢圓的面積為 解：設(shè)橢圓在第一象限的面積為 S1， S ? 4 S 1 ? 4 dxxaaba ]0[ 220??? x 1 O 1 1 y y?21 x2 y 21 1x?? 3? 解： 由對(duì)稱性，圖形面積是第一 象限部分的兩倍。 S ? 4 S 1 ? 4 dxxaaba ]0[ 220??? dxxaab a 2204 ?? ?44 2aab ??? ? ab ? 。 答案： 由上下兩條連續(xù)曲線 y?f(x)、 y?g(x)與左右兩條直線 ? ? ba [ f ( x ) ? g ( x )] dx 。 6 定積分的近似計(jì)算 167。 5 定積分在物理中的應(yīng)用 167。 4 旋轉(zhuǎn)曲面的面積 167。167。 3 平面曲線的弧長(zhǎng) 167。 1 平面圖形的面積 167。 2 由平行截面面積求體積 第十章 定 積 分的應(yīng)用 167。 1平面圖形的面積 三、極坐標(biāo)系情形 二、參數(shù)方程 一、直角坐標(biāo)系情形 xyo)( xfy ?a b xyo )(1 xfy ?)(2 xfy ?a b曲邊梯形的面積 ?? ba dxxfA )( ? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12一、直角坐標(biāo)系情形 x xxx ?? x?曲邊梯形的面積 討論： 由左右兩條連續(xù)曲線 x?y(y)、 x?j(y)與上下兩條直線 y?c、 y?d所圍成的圖形的面積 S 如何求 ？ O x y c d x?y(y) x?j(y) dyyyS dc)]()([ yj ?? ? 。 S x?a、 x?b所圍成的圖形的面積為 a b 例 1 求橢圓求橢圓 12222??byax 所圍成的圖形面積。 dxxaab a 2204 ?? ?44 2aab ??? ? ab ? 。 S ?2[ ] dxxxdxxx)112()211(23121022 ????? ?? 例 2 求曲線 y ? 21 x 2 、 y 21 1 x?? 與直線 x 3?? 、 x 3? 所圍成的圖形的面積。 8 y 2 2 x 2 O 4 4 4 (8, 4) (2, ?2) 解：求兩曲線的交點(diǎn)得： (2， ?2)， (8， 4)。 A ? 18]61421[)214( 4 232242?????? ???yyydyyy 。 ?18。 ?txt，xty 連續(xù)可微且連續(xù)上在 ??，abbaxbxa )(),(),( ???? 或記 ??軸所圍圖形面積公式為和及直線則由曲線 xbxaxC ?? ,.)()( 39。 a b x y o )( xfy ?面積表示為定積分的步驟如下 （ 1 ）把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個(gè)長(zhǎng)度為ix?的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為 n 個(gè)小窄曲邊梯形，第 i 個(gè)小窄曲邊梯形的面積為iA?，則 ????niiAA1. （ 2 ）計(jì)算 iA? 的近似值 iii xfA ??? )(? ii x???（ 3） 求和，得 A的近似值 .)(1iinixfA ?? ???（ 4） 求極限，得 A的精確值 iinixfA ?? ???)(l i m10?? ??ba dxxf )(a b x y o )(xfy ?提示 若用 A? 表示任一小區(qū)間],[ xxx ?? 上的窄曲邊梯形的面積，則 ? ?? AA ，并取 dxxfA )(?? ，于是 ?? dxxfA )(?? dxxfA )(l i m.)(?? ba dxxfx dxx ?dA面積元素 當(dāng)所求量 U 符合下列條件： （ 1 ） U 是與一個(gè)變量 x 的變化區(qū)間 ? ?ba , 有關(guān)的量； （ 2 ） U 對(duì)于區(qū)間 ? ?ba , 具有可加性，就是說，如果把區(qū)間 ? ?ba , 分成許多部分區(qū)間，則 U 相應(yīng)地分成許多部分量，而 U 等于所有部分量之和； （ 3 ）部分量 iU? 的近似值可表示為 ii xf ?)( ? ；就可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量 U 微元法的一般步驟： 1 ) 根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量例如 x 為積分變量，并確定它的變化區(qū)間 ],[ ba ； 2 ) 設(shè)想把區(qū)間 ],[ ba 分成 n 個(gè)小區(qū)間，取其中任 一小區(qū)間并記為 ],[ dxxx ? ，求出相應(yīng)于這 小區(qū)間的部分量 U? 的近似值 . 如果 U? 能近 似地表示為 ],[ ba 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在 x 處的 值 )( xf 與 dx 的乘積，就把 dxxf )( 稱為量 U 的元素且記作 dU ，即 dxxfdU )(? ； 3 ) 以所求量 U 的元素 dxxf )( 為被積表達(dá)式，在 區(qū)間 ],[ ba 上作定積分，得 ?? badxxfU )(，即 為所求量 U 的積分表達(dá)式 . 這個(gè)方法通常叫做 微元法 ． 應(yīng)用方向： 平面圖形的面積，體積。其他應(yīng)用。 2 由平行截面面積求體積 三、 小結(jié) 旋轉(zhuǎn)體 就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸 ． 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 一、旋轉(zhuǎn)體的體積 O x b a y 旋轉(zhuǎn)體： 由連續(xù)曲線 y?f (x)、直線 x?a 、 a?b 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體。 答案： 一般地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線 )( xfy ? 、直線 ax ? 、 bx ? 及 x 軸所圍成的曲邊梯形繞x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為多少？取積分變量為 x ，],[ bax ?在 ],[ ba 上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ，取以 dx 為底的窄邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積為體積元素， dxxfdV 2)]([??x dxx? x y o 旋轉(zhuǎn)體的體積為 dxxfV ba2)]([? ??)( xfy ? 解：橢圓繞 x 軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生 的旋轉(zhuǎn)體的體積： V x ? 2 ??? a0 y 2 dx ? 2 ? dxxaaba )( 20 222? ? axxaab03222)3(2 ??? ? 234 ab?? 。 V x ? 2 ??? a0 y 2 dx ? 2 ? dxxaaba )( 20 222? ? axxaab03222)3(2 ??? ? 24 ab?? 。 V ???ni 1S ( ? ? i ) ? x i。 (1) 在 [a, b]內(nèi)插入分點(diǎn)： a?x0x1x2 ??? xn?1xn?b， (2)過 xi(i?1, 2, ??? , n?1)且垂直于 x軸的平面 ， 把立體分割成n個(gè)小薄片 ， 第 i個(gè)小薄片體積的近似值 S(xi)?xi。 三、參數(shù)方程情形 四、極坐標(biāo)情形 xoy0MA?nMB?1M2M 1?nM設(shè) A 、 B 是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)，在弧上插入分點(diǎn)BMMMMMAnni??? ,110??并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)， 此折線的長(zhǎng) ||11???niii MM 的極限存在，則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng) .一、平面曲線弧長(zhǎng)的概念 求平面曲線的弧長(zhǎng) 設(shè)曲線弧為 )( xfy ?)( bxa ?? ，其中 )( xf在 ],[ ba 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoya bx dxx?取積分變量為 x ，在 ],[ ba上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ，以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)?dy小切線段的長(zhǎng) 22 )()( dydx ? dxy 21 ???dxyds 21 ??? .1 2 dxys ba? ???二、直角坐標(biāo)情形 弧長(zhǎng)元素 弧長(zhǎng) 例 1 計(jì)算曲線 上相應(yīng)于 x 從 a 到 b 的一段 弧的長(zhǎng)度 . ,21xy ???dxxds 2)(1 21??? ,1 dxx??dxxs ba? ?? 1 ].)1()1[(32 2323 ab ????a b所求弧長(zhǎng)為 解 2332 xy ?例 2 計(jì)算曲線 ?? dny nx?? 0 s i n 的弧長(zhǎng) )0( ??? nx .解 nnxny 1s i n ??? ,sin nx?dxys ba? ??? 21 dxnxn? ? ?? 0 s i n1ntx ? n d tt ??? ?0 s i n1dtttttn ? ? ???????????????0222c os2s in22c os2s indtttn ? ? ?????? ?? 0 2c o s2s ?曲線弧為 ,)( )(?????tytxyj)( ?? ?? t其中 )(),( tt yj 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) .22 )()( dydxds ?? 222 )) ] (()([ dttt yj ????dttt )()( 22 yj ????.)()( 22 dttts ? ???? ?? yj三、參數(shù)方程情形 弧長(zhǎng) 例 3 求星形線 323232ayx ?? )0( ?a 的全長(zhǎng) .解 ?????taytax33s i nc os)20( ??? t14ss ?? ? ? ? dtyx? ? ???? 20224 dttta??? 20c oss in34.6a?第一象限部分的弧長(zhǎng) 根據(jù)對(duì)稱性