【正文】 lex higher order differential equations reduction problem. Finally some real life examples of specific applications of these methods have been described. Key words: Higher Order Ordinary Differential Equations。 eigenvalue method。 它 的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科 學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。而 高階微分方程是常微分方程 中 的一個 重要的組成部分，在現(xiàn)實的生活中也有著廣泛的應(yīng)用，比如工程問題。 常微分方程是在生 產(chǎn)實踐和科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生的 。這些問題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問題。而對于可以降階的高 階微分方程， 我們通常 采 用降階法，也就是通過一定的變換把高階微分方程求解的問題轉(zhuǎn)化成低階微分方程的求解問題。 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 4 第一章 高階微分方程的理論與結(jié)構(gòu) 定義 1（ 方程的階） 在一個常微分方程里，未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做方程的階。 ?nyyyxF ? n 階顯式方程的一般形式為 ),( )1(39。如果把 )(xy ?? 代入到方程 0),( )(39。 ?xxxxF n??? ? 則稱 )(xy ?? 是方程 0),( )(39。 微分方程的解可以包括任意的常數(shù)，其中任意常數(shù)的個數(shù)可以多到和方程的階數(shù)相等，當(dāng)然也可以不包括任意常數(shù)。 ?nyyyxF ? 的含有 n 個獨立的任意常數(shù) nCCC , 21 ? 的解 ),( 21 nCCCxy ??? 稱做該方程的通解。 方程 )()()()( 039。39。 , nyyy ? 都是線性的。如果)1,1,0)(( ?? nixa i ? 都是常數(shù)，則把方程（ 11）叫做 n 階常系數(shù)線性方程。1)1(1)( ????? ?? yxayxayxay nnn ? 則稱方程（ 11）是齊次的，否則為非齊次的。1)1(1)( ????? ?? yxayxayxay nnn ? （ 12） 定理 1（疊加原理） 設(shè) )(1xy 和 )(2 xy 是齊次方程（ 12）的解，則對于任意常數(shù) 1c 和2c ， )()( 2211 xycxyc ? 也是方程（ 12）的解。1)1(1)( xfyxayxayxay innn ????? ?? ? 的解，則 )()( 21 xyxy ? 也是方程 )()()()()( 21039。 定理 3 設(shè) )(,),(),( 21 xyxyxy n? 是齊次方程（ 12）的 n 個線性無關(guān)的特解，則 )(1 xycy ini i??? 是方程（ 12）的通解，其中 nccc , 21 ? 是任意常數(shù)。則 )()()( * xyxYxy ?? 是（ 11）的通解。111 ????? ?? yayayay nnn ? （ 21） 其中 y 是關(guān)于 x 的未知函數(shù)，系數(shù) 011 , aaan ?? 是實常數(shù)。式子（ 22）是關(guān)于 ? 的 n 次代數(shù)方程，則把他叫做微分方程（ 21）的特征方程，它的根就稱做特征根。 特征根是單根的情況 定義 我們把 0)( 111 ?????? ?? nnnn aaaP ???? ?稱為方程 039。在這里把 ? 叫做待定系數(shù) 。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn ? 的一個基本解組。即此時在相異特征根 n??? , 21 ? 中有復(fù)數(shù)。這兩個特征根所對應(yīng)的解是實變量復(fù)值函數(shù) bxiebxeey bxiebxeey axaxxibakaxaxxibaks i nc os s i nc os)(1)(??? ??? ??? 例 1 求方程 044 ??xdtxd 的通解。 特征根是重根的情況 定理 假設(shè)方程 039。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn ?的特解是 xmxxxmxxxmxxpppp exxeeexxeeexxee?????????111,22221111????????， 并且該特解構(gòu)成 039。 例 2 解初值問題 ??? ???? ?? 1)0(,0)0()0()0( 039。39。39。)4(yyyy yy 解 特征方程是 0)1)(1(1 224 ????? ??? ，特征根是 .,1i?? 所以方程的通解是 .s i nc o s 4321 xcxcececy xx ???? ? 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 8 又因為 ,c o ss i n 432139。39。39。 xcxcececy xx ???? ? 根據(jù)初始條件，得 ???????????????????1000421321421321cccccccccccc 再解方程組，得 21,0,41,41 4321 ?????? cccc 于是初值問題的解是 xeey xx s in21)(41 ??? ? 高階常系數(shù)線性非齊次方程 對于 n階常系數(shù)線性非齊次方程 ? ? ? ? )(039。在上一節(jié)中我們知道了怎樣求解齊次方程的通解，下面我們主要來研究求解非齊次方程的特解的方法。 可以設(shè)方程（ 23）的特 解是： )()()()()()()(~ 2211 txtctxtctxtctx nn???? ? (24) 其中 nici ,2,1, ?? 是待定的 常函數(shù)。)1(39。1)1(139。2)2(239。39。239。139。39。11tftcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxtcxnnnnnnnnnnnnnn?????? （ 25） 解方程 組 (25)就會得到關(guān)于 )(,),(),( 21 tctctc n??? ? 的表 達式 ,把它們分別進行 積分進而得 到 nici ,2,1, ?? ,再把它 們代入到 (24)式中 ,繼而求得方程（ 23）的一個特解 )(~tx 。 例 3 求解 方程 的通解 ,已知 它所對應(yīng)的齊次線性微 分方程的基本解組是 tt sin,cos 。 tc 和 )(239。139。239。1 ?? , 1)(239。 txx cos139。 ??哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 10 比較系數(shù)法 對于常系數(shù)非線性方程（ 23） ,我們通常采用的方法是比較系數(shù)法 ,它是把所要求解的微 分方程的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題 ,在自由項是 ? ? tntm etttptfetptf ???? ??? s i n)(ptc os)()()()( s或 (其中 )(),(),( tptptp snm 分別是 m 次 ,n 次 ,s 次的多項式。再根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)便可以求解出方程的通解。39。39。 ???? ? texxx t的通解。 拉普拉斯變換法 根據(jù)積分 dttfesF st )()( 0?? ?? 所定義的確定在復(fù)平面（ ??sRe ）上的復(fù)變數(shù) s 的函數(shù) )(sF ，叫做函數(shù) )(tf 的拉普拉斯變換，其中 )(tf 在 0?t 上有定義，并且滿足不等式 tMetf ??)( 在這里 ?,M 是某兩個正常數(shù) 。 設(shè)所給定的微分方程 )(111 tfxadt xdadt xd nnnnn ???? ?? ? （ 26） 和初始條件 )1(0)1(39。0 )0(,)0(,)0( ?? ??? nn xxxxxx ? 其中 naaa , 21 ? 是常數(shù)，而 )(tf 是連續(xù)的并且滿足原函數(shù)的條件。記 ? ? dttfetfsF st )()()( 0?? ??? ? ? ? dttxetxsX st )()()( 0?? ??? ? 那么，根據(jù)原函數(shù)的微分性質(zhì)就有 ? ? 039。0201)( )()( ??? ????? nnnnn xxsxssXstx ?? 于是，再對方程（ 26）的兩邊進行拉普拉斯變換，并且運用線性性質(zhì)就可以得到 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 12 ? ?? ?)()()()()(01)2(039。0201sFsXaxssXaxxsxssXsaxsxxsxssXsnnnnnnnnnnn???????????????????????????? 即 )1(039。而 )(tx 可以直接查表或者根據(jù)反變換公式計算求解出來。39。39。39。39。 ??? xxx 的解。 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計） 13 Euler 方程 定義 ：形如 )(039。它的特點就是包含 y的 k 階導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)是 kkxa 。在現(xiàn)實里，我們僅需要考慮 0x? 的這種情況，因為在 0?x 的時候，在上述的方程里做自變量變換 xt ?? ，則方程就化成 )(011111 tfyadtdytadt ydtadt ydta nnnnnnnn ?????? ???? ? 求出他的解，再用 x? 替換 t 就可以得出方程關(guān)于 0x? 的解。1)1(11)( xfyaxyayxayxa nnnnnn ????? ??? ? 化成了常系數(shù)線性方程。39。239。39。所以，我們把這種方法稱做“降階法” 。 解 對原方程的左右兩邊依次進行積分，得 1c o s s in ,y x x C?? ? ? ? ? 12si n c os .y x x C x C? ? ? ? ? ? 再次進行積分，求解出原方程的通解是