【正文】 是方程（ 26）所滿足所給初始條件的解 )(tx 的象函數(shù)。030211)1(0)2(039。 )()( xssXtx ??? ? ? )1(039。 可以證明，假如 )(tx 是方程（ 21）的任意解，則 )(tx 以及它的各階的導(dǎo)數(shù)),2,1)(()( nktx k ?? 都是原函數(shù)。039。我們把 )(tf 稱為原函數(shù)，而把 )(sF 稱為象函數(shù)。 解 特征方程 0)1(133 323 ?????? ???? 有三重根 13,2,1 ??? ,所對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解是 tetctccx ???? )( 2321 并且方程有 teBtAtx ??? )(~ 3 的特解 ,將它代入到方程中得 )5()246( ??? ?? teeBtA tt 再比較兩邊的系數(shù)求得 241,65 ??? BA 進(jìn)而 tettx ??? )20(241~ 3 所以所求的方程的通解是 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 11 tt ettetctccx ?? ????? )20(241)( 32321 其中 321 , ccc 是任意的常數(shù)。39。39。 例 4 求方程 )5(3 39。 ??? , 都是實(shí)常數(shù) )時(shí) ,就可以確定特解 x~ 的形式 ,即分別令 tmk etQtx ?)(~ ? )(( tQm 是一個(gè)待定的 m 次的多項(xiàng)式 ,k 是方程 )()2(2)1(1)( tfxpxpxpx nnnn ????? ?? ?的特征方程有根 ? 時(shí) ? 的次數(shù) )或者 ? ? tmmk ettQttQtx ??? s i n)(c o s)(~ )2()1( ?? (其中 ? ? )(),(.,max )2()1( tQtQsnm mm? 是兩個(gè)待定的 m 次多項(xiàng)式 ,k 是方程含有根 t??? 的次數(shù) )然后把它代入到方程（ 23）中 ,再進(jìn)行比較等式的左右兩邊同次冪的系數(shù)來(lái)確定待定系數(shù)多項(xiàng)式。39。 ?tc 據(jù)此得到 2211 )(,c o sln)( ?? ???? ttcttc 所以原方程的通解是 ttttttx s i nc oslnc oss i nc os 21 ???? ?? 其中 21,?? 是 任意的常數(shù)。1 ??? 解得 tttc cossin)(39。 ?? ttcttc 和 tttcttc c os1)(c os)(s in 39。 tc 的兩個(gè)方程 0s in)(c o s)( 239。 解 運(yùn)用常數(shù)變易法 ,設(shè) ttcttcx s in)(c o s)( 21 ?? 并且把它代入到方程里 ,就可以得到關(guān)于 )(139。 由于這種方法 對(duì)于自由項(xiàng) )(tf 的形式?jīng)]有任何的限制 ,因此使用的范圍會(huì)比較廣 ,但是求解的工作量相對(duì)來(lái)說(shuō)會(huì)大一些。2239。139。239。39。1)2(139。)2(39。2)1(239。并且把它代入到方程 (23)中 ,再附加上 n1個(gè)條件 ,就可以得到 方程組 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 9 ???????????????????????????????)()()()(0)()()(0)()()(0)()()(39。 常數(shù)變易法 常數(shù)變易法 實(shí)際上是一種變量變換的方法 ,在這里我們 簡(jiǎn)單的介紹一下 在 n階方程中的應(yīng)用。111 xfyayayay nnn ????? ?? ? （ 23） 他的通解等于齊次方程的通解再加上加其對(duì)應(yīng)的非 齊次方程的一個(gè)特解。39。 xcxcececy xx ???? ? ,c o ss i n 432139。 xcxcececy xx ???? ? ,s i nc o s 432139。39。39。39。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn ?在區(qū)間 ),( ???? 上的基本解組。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn ?有互異的特征根 p??? ?, 21 ，他們的重?cái)?shù)分別是 1, 21 ?ip mmmm ? ，并且 nmmm p ???? ?21 ，則與他們相對(duì)應(yīng)的039。 解 特征方程 014 ??? 的根是 ii ?????? 4321 ,1,1 ???? ，其中有兩個(gè)實(shí)根和兩個(gè)復(fù)根，但他們都是單根，所以所求方程的通解是 tctcececx tt s i nc o s 4321 ???? ? 在這里 4321 , cccc 是任意的常數(shù)。例如),(1 為實(shí)數(shù)baibak ???? ，則 ibak ???1? 也是 0)( 111 ?????? ?? nnnn aaaP ???? ?的根。 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 7 特征方程 0)( 111 ?????? ?? nnnn aaaP ???? ?可能有復(fù)根，由于他的系數(shù)是實(shí)的，他的復(fù)根一定是共軛成對(duì)的出現(xiàn)。 定理 如果特征方程 0)( 111 ?????? ?? nnnn aaaP ???? ?有 n 個(gè)互異的根n??? ?, 21 ，則 xnxx neyeyey ??? ??? , 21 21 ? 是方程 039。1)1(1)( ????? ?? yayayay nnnn ? 的特征方程，它的根叫做特征根。下面根據(jù)特征根的不同情形分別進(jìn)行討論方程解的情況。如果 xey ?? 是方程的根，把他代入到方程中，得 00111 ???? ?? xnnn eaaa ???? ）（ ? 因?yàn)?0?xe? ，因此 00111 ????? ?? aaa nnn ??? ? （ 22） 反之，如果 ? 滿足等式（ 22）， 則 xey ?? 是方程 (21)的解。 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 6 第二章 高階常系數(shù)線性微分方程 高階常系數(shù)線性齊次微分方程 對(duì)于 n 階常系數(shù)線性齊次方程 ? ? ? ? 0039。 定理 4 設(shè) )(* xy 是非齊次線性方程（ 11）的任意一個(gè)確定的解， )(xY 是（ 11）對(duì)應(yīng)的齊次線性方程（ 12）的通解。1)1(1)( xfxfyxayxayxay nnn ?????? ?? ? 的解。 定理 2 設(shè) )2,1)(( ?ixyi 是方程 )()()()( 039。所 以對(duì)于方程（ 11）的齊次方程是 0)()()( 039。如果方程的右端項(xiàng) 0)( ?xf ，即 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 5 0)()()( 039。在這 里，我們通常假設(shè) )1,1,0)(( ?? nixa i ? 和 )(xf 是區(qū)間 ),(ba 上的連續(xù)函數(shù)。39。1)1(1)( xfyxayxayxay nnn ????? ?? ? （ 11） 稱做 n 階線性微分方程，它關(guān)于未知函數(shù) y 以及 各階導(dǎo)數(shù) )(39。如果方程的解 )(xy ?? 不包含任意常數(shù)，則把它叫做特解。我 們把方程 0),( )(39。 ?nyyyxF ? 在區(qū)間 I 上的一個(gè)解。 ?nyyyxF ? 得到在區(qū)間 I 上關(guān)于 x 的恒等式是 0))(,),(),(,( )(39。)( ?? nn yyyxfy ? 定義 2（解） 設(shè)函數(shù) )(xy ?? 在區(qū)間 I 上有直到 n 階的導(dǎo)數(shù)。 n階隱式方程的一般形式為 0),( )(39。 本篇論文我總結(jié)了形如 ()nndy fxdx ?， ( ) ( 1 ) ( )( , , , , ) 0k k nF x y y y? ?， ()( , , , ) 0nF y y y? ?，恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程和 Euler 方程的降階方法 ，并且研究了幾類較為復(fù)雜的高階微分方程的降階問(wèn)題，進(jìn)而介紹此類問(wèn)題在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。 人們對(duì)于二階以及簡(jiǎn)單的高階微分方程求解的方法有了很多理論成果，而高階常微分方程并沒(méi)有固定的解法， 例如，高階常系數(shù)線性齊次微分方程，我們可以運(yùn)用特征根的方法進(jìn)行求解，高階常系數(shù)線性非齊次微分方程，我們可以運(yùn)用常數(shù)變易法，比較系數(shù)法，拉普拉斯變換法進(jìn)行求解。 目前 ，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。 常系數(shù)線性微分方程的解法，高階微分方程的降階問(wèn)題 又 是高階微分方程的重中之重。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、 拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具 。 reduction method 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 3 前 言 常微分方程作 為數(shù)學(xué)系重要專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)習(xí)好其他的科目起到了至關(guān)重要的作用。 constant variation。 關(guān)鍵詞： 高階常微分方程；常數(shù)變易法； 特征根 法； 降階法 哈爾濱學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 2 Abstract This paper introduces some of the theories and higher order differential structure. Then introduce higherorder homogeneous linear differential equation methods and highorder nonhomogeneous linear differential equation method for solving homogeneous linear differential equation where the main use of the eigenvalue method。 其次又介紹了幾類可 降階的微分方程的解法，主要有 形如