[理學(xué)]第3節(jié)高階微分方程-文庫吧資料
2024-12-14 01:04本頁面
【正文】 2)的任意兩個解 的 和仍是 (2)的解； (2)的任意一個解的常數(shù)倍仍是 (2)的解 . 如果 )(),( 21 xyxy 是方 程 (2 ) 的 兩個解 , 則 )()( 2211 xyCxyCy ??也是 (2)的解 . (稱 線性無關(guān) ), 則上式為 (2)的 通解 . 定理 3 0?????? byyay(2) 常數(shù)如果 ?)()(21 xyxy12 1. 二階常系數(shù) 齊次 線性方程的 解法 下面來尋找方程 ( 2 ) 的形如 xy ?e? 的特解 . 將 xy ?e? 代入方程 ( 2) , 得 0e)( 2 ??? xba ??? , 而 0e ?x? , 于是有 代數(shù)方程 (3)稱為微分方程 (2)的 特征方程 ,它的根稱為 特征根 (或 特征值 ). (3) 02 ??? ba ??0?????? byyay(2) 13 (3) 得到方程 ( 1) 的兩個特解 11 e xy ?? , 22 e xy ?? , 而 12()12( ) / ( ) e xy x y x C?? ???, 故它們線性無關(guān) , 因此 (1 ) 的通解為 下面來尋找方程 ( 1) 的形如 e xy ?? 的特解 . 若 0?? , 記 2 4ab? ? ? , 情形 1 2 0ab??? ? ?1212eexxy C C????1 , 2 2a? ? ? ??則特征方程 (3)有兩個相異的實根 14 若 0?? , 只得到方程 ( 2 ) 的一個特解 11 e xy ?? , 設(shè) )(/ 12 xuyy ? , 即12 ( ) e xy u x ?? , 代入方程 ( 1) , 并約去 1e x? , 得 因為 1? 是方程 2 0ab?? ? ? ? 的二重根 , 故有 211 0ab?? ? ? ? , 120 a? ?? , 0 ???? u , 取特解 xu ? , 即得12 e xyx ?? , 情形 2 1 , 2 ,2a? ??2y , 使 ?12 / yy 常數(shù) . 需要求另一個特解 21 1 1( 2 ) ( ) 0 ,u a u a b u? ? ??? ?? ? ? ? ? ?則特征方程 (3)有兩個相等的實根 于是 (2)的通解為 112( ) e xy C C x ???15 1 , 2 i? ? ???, 方程 (1 ) 有兩個特解 xiy )(1 e ?? ?? , xiy )(2 e ?? ?? , )s i nc o s(e 21 xCxCy x ??? ?? . 由歐拉公式知 由疊加原理 , ???????????xiyyyxyyyxx????s i ne2/)(c ose2/)(212211 仍然是 ( 2 ) 的解 , 且線性無關(guān) , 所以方程 ( 2 ) 的通解為 ?????????)s i n( c o se)s i n( c o se21xixyxixyxx??????若 0?? , 情形 3 則特征方程 (3)有一對共軛復(fù)根 16 02 ??? ba ??0?????? byyay小結(jié) 特征根的情況 通解的表達式 12???12???1 , 2 i? ? ???實根 實根 復(fù)根 1212eexxy C C????112( ) e xy C C x ???)s i nc o s(e 21 xCxCy x ??? ??17 解 特征方程為 故所求通解為 求微分方程 032 ?????? yyy 的通解 . 例 5 例 6 .052 的通解求方程 ?????? yyy解 特征方程為 0522 ??? ??解得 ,2121 i???，?故所求通解為 )2s i n2c o s(e21 xCxCy xc ?? ?0322 ??? ??xxc CCy 321 ee ?? ?3,1 21 ??? ??特征根為 18 解 特征方程為 故通解為 求微分方程 0dd2dd22??? ststs滿足初始條件 2)0(,4)0( ???? ss 的特解 . ? 22 ?C , 所以所求特解為 tts ??? e)24( . 例 7 0122
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